Question

(Fatec) O conjunto solução da equação 2cos²x+cosx-1=0, no universo U=[0,2π], é

Answer 1

O conjunto solução  dessa equação é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{60^\circ~, 180^\circ~e~ 300^\circ}} }$ ou em radianos temos $\Large\text{ \boxed{\boxed{\frac{\pi }{3},~\pi ~e ~ \frac{5\pi }{3} }} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação do 2°

Temos a seguinte equação trigonométrica $2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0$

No intervalo de $\left[0, 2\pi \right]$  precisamos achar o número de soluções possíveis para essa equação

Podemos usar o método da substituição e transformar essa equação numa equação genérica do 2°

Vamos chamar Cos(x) de U

$\boxed{Cos(x)=U}$

Agora onde tiver Cos(x) na função  $2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0$ chamaremos de U

$2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0\\\\\\\boxed{2U^2+U-1=0}$

Agora basta usarmos Bhaskara e acharemos os valores de U

$2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0\\\\A=2\\B=1\\C=-1$

$\Delta = B^2-4\cdot A\cdot C$

$U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta} }{2A}$

Vamos achar o Delta

$\Delta = B^2-4\cdot A\cdot C\\\\\Delta = (1)^2-4\cdot 2\cdot -1\\\\\Delta = 1+8\\\\\boxed{\Delta = 9}$

Agora vamos achar o valor de U

$U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta} }{2A}\\\\\\U=\dfrac{-1\pm\sqrt{9} }{2\cdot 2}\\\\\\U=\dfrac{-1\pm3}{4}\\\\\\U_1=\dfrac{-1+3}{4}\Rightarrow \dfrac{2}{4}= \boxed{\dfrac{1}{2} }\\ \\\\U_2=\dfrac{-1-3}{4}\Rightarrow \dfrac{-4}{4}= \boxed{-1}$

Agora lembre-se que U na verdade é Cos(x)

Então vamos substituir U por Cos(x)

$Cos(x)=\dfrac{1}{2} \\\\\\Cos(x)= -1$

Agora vamos saber que valores de X dão esse resultado entre $[0,2\pi ]$

$Cos(x)=\dfrac{1}{2} \\\\\\X=Arccos\left(\dfrac{1}{2} \right)\\\\\\\boxed{X=60^\circ~e~300^\circ}$

Agora vamos ver com Cos(x)=-1

$Cos(x)=-1\\\\\\X=Arccos\left(-1 \right)\\\\\\\boxed{X=180^\circ}$

Então concluímos que o conjunto solução dessa equação é

$\Large\text{ \boxed{\boxed{60^\circ~, 180^\circ~e~ 300^\circ}} }$

Aprenda mais sobre equação do 2°

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