Question

(UECE 2015-2 1°Fase) No referencial cartesiano usual as retas representadas pelas equações 3x - 4y + 4 = 0 e 3x - 4y + 20 = 0 são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo -y. A equação que representa está circunferência é :

Answer 1

As retas são paralelas, pois tem o mesmo coeficiente angular. Logo, a distância entre elas é o diâmetro da circunferência.

Na primeira equação da reta (r) temos para x=0, y=1. Obtemos o ponto P(0,1)
Calculando a distância deste ponto P a outra reta (s)  temos:

$d(P,s)= \frac{|3.0-4.1+20|}{ \sqrt{3^2+4^2}} = \frac{16}{5}$

O diâmetro da circunferência é 16/5, então seu raio vale metade 8/5.

Como o centro da circunferência está sobre o eixo y, então o centro é C(0,y). Calculando a distância deste ponto a uma das retas teremos o raio da circunferência.

$d(C,r)= \frac{|3.0-4.y+4|}{ \sqrt{3^2+4^2} } = \frac{8}{5} \\ 4-4y=8 \ ou \ 4-4y=-8 \\ y=-1 \ ou \ y=3$

Como as retas são paralelas e a circunferência está entre elas y=-1 não serve.

Temos uma circunferência de centro (0,3) e raio 8/5. Cuja equação é:

$x^2+(y-3)^2=64/25$