Question

(UDESC) Seja um quadrado de lado L1 e área A1. Construa um novo quadrado P2, usando os pontos médios dos lados de P1, que terá lado medindo L2 e área A2. Agora construa o quadrado P3, usando os pontos médios dos lados de P2, que terá lado medindo L3 e área A3, e assim sucessivamente. Sobre as progressões (L1, L2, L3, ...) e (A1, A2, A3, ...) é correto afirmar que:

A
ambas são progressões aritméticas com razões diferentes.

B
ambas são progressões geométricas com a mesma razão.

C
ambas são progressões geométricas com razões diferentes.

D
ambas são progressões aritméticas com a mesma razão.

E
a medida dos lados forma uma progressão aritmética, enquanto a medida das áreas forma uma progressão geométrica.

Answer 1

A -Se os pontos médios de um enésimo quadrado qualquer são usados para fazer um novo quadrado, desenhando o quadrado é possível perceber que o lado do novo quadrado (n+1) sera (teorema de pitágoras):

$Ln +1= \sqrt{(Ln/2) ^{2} + (Ln/2)^{2}}} = \sqrt{Ln /2} = Ln \sqrt{2} /2 = Ln+1$

É perciptível que os lados formam uma PG. de razão Ln+1/Ln (formula da razão de uma PG.)

Razão da pg portanto é $\sqrt{2} /2$

Para as áreas An = Ln*Ln= (Ln)²; An+1 = (Ln+1)².

Ln+1 = Ln $\sqrt{2} /2$

An+1 =( Ln $\sqrt{2}$ /2)²

An+1 = Ln² *2/4;  Ln²/2 lembrando que -> Ln²= An

An+1 = An/2

As areas também formam uma PG de razão 1/2.

As razões sao diferentes, portanto a resposta é a letra C