Question

UDESC - As instruções da figura abaixo referem-se ao início da construção de um avião de origami.

Se a folha de papel inicial tem 25 x 40cm, o lado maior do triângulo isósceles CEF, formado após a última dobra indicada, é:

O gabarito tá a alternativa e.

Como chego no resultado?

Answer 1

A alternativa correta é a letra e)

Observe que na segunda dobra (passo4), o triangulo CBE é um triangulo com angulo retangulo (de 90º) em B e com lados de mesma medida BC=BE. além disso, o angulo $B\widehat{C}E$ é a metade (e portanto a bissetriz) do angulo $C\widehat{B}E$

A medida de CE pode ser obtida pelo teorema de pitágoras:

$CE^2= BC^2+BE^2$

$CE^2= BC^2+BC^2$

$CE^2= 2BC^2$

$CE= BC\sqrt{2}$

e lembrando que  BC=25/2, teremos

$CE= \frac{25\sqrt{2}}{2}$

Na ultima dobra, obtemos um novo triangulo isósceles com medidas CE=EF e com o ângulo $E\widehat{C}F$ sendo a bissetriz do angulo $B\widehat{C}E$.

Para encontrar o tamanho de CF, precisamos usar a lei de pitagoras novamente. Mas para isso, precisamos tomar um triangul retangulo com a diagonal igual a CF

Mas repare que ao criar um ponto auxiliar G, vemos que EFG é igual a CEB

Assim podemos aplicar o teorema de pitágoras no triangulo CFG:

$CF^2= CG^2+GF^2$

$CF^2= (CE+EG)^2+GF^2$

Repare que:

$\bf {EG=GF=BE}\\ \bf{CE=BE\sqrt2=GF\sqrt2}$

E por isso:

$CF^2= (GF\sqrt2 +GF)^2+GF^2$

$CF^2= 2GF^2+2\sqrt2GF^2 +GF^2+GF^2$

$CF^2= 4GF^2+2\sqrt2GF^2$

$CF^2= GF^2(4+2\sqrt2)$

Por fim, como $GF=\frac{25}{2}$

$CF^2= 25^2\dfrac{(4+2\sqrt2)}{4}$

$CF= 25\dfrac{\sqrt{(4+2\sqrt2)}}{2}$

$CF= 25\sqrt{\dfrac{(2+\sqrt2)}{2}}$