Question

(UCB 2020) O modelo matemático usado para descrever a forma de um cabo ou de uma corrente flexível uniforme, cujas extremidades são suportadas a mesma altura, como, por exemplo, cabos de alta tensão, é chamado de função hiperbólica. Caso se introduza um sistema de coordenadas, conforme indicado na figura, pode ser mostrado que uma equação, que corresponde à forma do cabo, é dada por y= a/2 (e^{x/a} + e^{-x/a} ), em que a é uma constante positiva.

Uma equação que fornece x = f (y) é dada por:
Obs: alternativas estão na imagem anexada. Agradeço a quem puder ajudar!

Answer 1

Aplicando o conceito de função inversa a equação que fornece x = f(y) é dada por:

$x=\ln \left(\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\right)^a$

Função Inversa

Para responder a esta questão vamos aplicar o conceito de função inversa. Uma função só admite inversa se esta for uma função bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora simultaneamente.

O processo prático para obter a função inversa é trocar x por y e vice-versa, em seguida isolar y novamente. Ou neste caso, basta isolarmos x na função dada.

Dada a função:

$y=\dfrac{a}{2}\cdot \left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)$

A fim de simplificar os cálculos podemos fazer a seguinte mudança de variável:

$z=e^{\frac{x}{a}}$

Ao reescrever a função temos:

$y=\dfrac{a}{2}\cdot \left(z+\dfrac{1}{z}\right)\\\\\dfrac{2y}{a}=\dfrac{z^2+1}{z}\\\\\dfrac{2yz}{a}-z^2=1\\\\z^2-\dfrac{2yz}{a}=-1$

Como queremos isolar "z" devemos completar quadrados na primeiro membro da equação, somando em ambos os membros o valor conveniente.

$z^2-\dfrac{2yz}{a}=-1\\\\z^2-\dfrac{2yz}{a}+\ldots=-1+\ldots\\\\z^2-\dfrac{2yz}{a}+\dfrac{y^2}{a^2}=-1+\dfrac{y^2}{a^2}\\\\\left(z-\dfrac{y}{a}\right)^2=\dfrac{y^2-a^2}{a^2}\\\\z-\dfrac{y}{a}=\dfrac{\sqrt{y^2-a^2}}{a}\\\\z=\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}$

Voltamos agora para a variável original.

$e^{\frac{x}{a}}=\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\\\\\ln e^{\frac{x}{a}}=\ln \left(\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\right)\\\\\dfrac{x}{a}=\ln \left(\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\right)\\\\x=a\cdot \ln \left(\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\right)\\\\x=\ln \left(\dfrac{y+ \sqrt{y^2-a^2}}{a}\right)^a$

Para saber mais sobre Função Inversa acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/6643186

#SPJ1