Question

(UA-AM) O valor de sen 15° + cos 15° é:

Answer 1

Calcular o valor numérico da expressão

     E = sen 15° + cos 15°

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     •   Forma  1:

Reescreva a expressão como uma soma somente de senos (ou somente de cossenos):

     E = sen 15° + cos 15°

     E = sen 15° + sen(90° − 15°)

     E = sen 15° + sen 75°


Use uma das fórmulas de transformação de soma em produto:

     •   $\mathrm{sen\,}p+\mathrm{sen\,}q=2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$


Para  p = 15°  e  q = 75°,  a expressão fica

    $E=2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{15^\circ+75^\circ}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{15^\circ-75^\circ}{2}\right)\\\\\\ E=2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{90^\circ}{2}\right)\cos\!\left(\dfrac{-60^\circ}{2}\right)\\\\\\ E=2\,\mathrm{sen\,}45^\circ\cos(-30^\circ)\\\\ E=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\ E=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 2}\\\\\\ E=\dfrac{\sqrt{2\cdot 3}}{2}$

    $E=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

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     •   Forma  2:

Como  15°  é um ângulo agudo,  tanto o seno como o cosseno são ambos positivos.  Logo, a soma  E  procurada também é positiva.


Para facilitar os cálculos, vamos tomar o quadrado da expressão pedida.  Expanda o quadrado da soma, usando produtos notáveis:

       $E^2=(\mathrm{sen\,}15^\circ+\cos 15^\circ)^2\\\\ E^2=(\mathrm{sen\,}15^\circ)^2+2\,\mathrm{sen\,}15^\circ\cos 15^\circ+(\cos 15^\circ)^2\\\\ E^2=\mathrm{sen^2\,}15^\circ+2\,\mathrm{sen\,}15^\circ\cos 15^\circ+\cos^2 15^\circ\\\\ E^2=(\mathrm{sen^2\,}15^\circ+\cos^2 15^\circ)+2\,\mathrm{sen\,}15^\circ\cos 15^\circ$


Mas temos que

     •   cos² 15° + sen² 15° = 1    (identidade trigonométrica fundamental)

     •   2 sen 15° cos 15° = sen (2 · 15°) = sen 30°    (seno do arco duplo)


Então,

     $E^2=1+\mathrm{sen\,}30^\circ\\\\ E^2=1+\dfrac{1}{2}\\\\\\ E^2=\dfrac{2+1}{2}\\\\\\ E^2=\dfrac{3}{2}$


Tomando a raiz quadrada dos dois lados, sabendo que  E  é positivo, devemos ter

     $E=+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\\\ E=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\\\ E=\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\\\\\\ E=\dfrac{\sqrt{3\cdot 2}}{\sqrt{2^2}}$

     $E=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{novamente, esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)