Question

(U.F. Juiz de Fora-MG) Os lados AB e AC de um triângulo ABC formam um ângulo a,

tal que cos a =

$\frac{1}{3}$
. Sabe-se que a medida do lado BC é igual a
$\sqrt{32}$
cm e que a medida

do lado AC é o triplo da medida do lado AB. Sendo b o ângulo formado entre os lados AC

e BC, podemos afirmar que:

a) b < 30º, e a medida do lado AB é um inteiro ímpar
b < 30º, e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.

c) 30º ≤ b < 45º, e a medida do lado AB é um inteiro par.

d) 30º ≤ b < 45º, e a medida do lado AB é um inteiro ímpar.

e) 45º ≤ b < 60º, e a medida do lado AB é um inteiro par.

Answer 1

Chamando AB=X
AC=3X

Cos(a)^(2)+Sen(a)^(2)=1

(1/3)^(2)+Sen(a)^(2)=1 --->

Sen(a)=(2*raiz(2))/3

Aplicando a lei do cosseno, fica:

BC^(2)=AC^(2)+AB^(2)-2*AC*AB*Cos(a)

(raiz(32))^(2)=X^(2)+(3X)^(2)-2*3X*X*(1/3)

32=X^(2)+9X^(2)-2X^(2)
32=8X^(2) ----> X=raiz (4)=2

No triângulo ABC, o ângulo â=a, e Sen(a)=(2*raiz(2))/3

Chamando AB=2
AC=3*2=6
BC=raiz(32)

E o ângulo no vértice "C"=b

Aplicando agora a leis dos senos, tem-se:

Sen(b)/2=sen(a)//raiz(32)

Sen(b)=2*(2*raiz(2))/3)/raiz(32)

Sen(b)=4*raiz(64)/3 *(1/32)

Sen(b)=4*8/(3*32)=1/3=0,33

Sen(30°)=1/2=0,5

Logo, como 0,33<0,5, então podemos garantir que:

Ângulo b < 30°