Question

tudo na base 2 ----------- log(x+3)+log3-log(x-1)=2
alguem sabe ?

Answer 1

EAE manoo,

vamos estabelecer a condição de existência para que os logs acima existam..

$\begin{cases}x+3\ \textgreater \ 0~~~~~x-1\ \textgreater \ 0\\ x\ \textgreater \ -3~~~~~~~~x\ \textgreater \ 1\end{cases}$

Feito isso, podemos aplicar 3 propriedades já estudas..

Log do produto:

$\boxed{log_b(a)+log_b(c)~\Longleftrightarrow log_b[(a)\cdot (b)]}$

Log do quociente:

$\boxed{log_b(a)-log_b(c)~\Longleftrightarrow log_b\left( \dfrac{a}{c}\right)}$

Log da definição:

$\boxed{log_b(c)=a~\Longleftrightarrow c=b^a}$


Agora vamos à resolução da equação (tudo na base 2)..

$\log_2(x+3)+\log_23-\log_2(x-1)=2\\ \log_2[(x+3)\cdot3]-\log_2(x-1)=2\\ \log_2(3x+9)-\log_2(x-1)=2\\ \Rightarrow\log_2\left( \dfrac{3x+9}{x-1}\right)=2\\ \Rightarrow\dfrac{3x+9}{x-1}=2^2\\\\ \Rightarrow \dfrac{3x+9}{x-1}=4\\\\ \Rightarrow 3x+9=4\cdot(x-1)\\ \Rightarrow3x+9=4x-4\\ \Rightarrow4x-4=3x+9\\ \Rightarrow4x-3x=9+4\\ \Rightarrow x=13~~(atende)\\\\\\ \huge\boxed{S=\{13\}}$

FLW, tenha bons estudos. Espero ter ajudado ;D