Question

TRIGONOMETRIA!!!
Sabendo que [cossec(x)/sec(x)] + [sec(x)/cossec(x)] = 5, então o valor de [sen(x) + cos(x)]^2 é:
Resposta: 7/5

Answer 1

É dado que

$\dfrac{\mathrm{cossec\,}x}{\sec x}+\dfrac{\sec x}{\mathrm{cossec\,}x}=5$


Sabemos que a secante e a cossecante são definidas como os inversos do cosseno e do seno, repectivamente:

$\mathrm{cossec\,}x=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x},\;\;\;\;\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$


Substituindo na igualdade inicial, temos

$\mathrm{cossec\,}x\cdot \dfrac{1}{\sec x}+\sec x\cdot \dfrac{1}{\mathrm{cossec\,}x}=5\\ \\ \\ \dfrac{1}{\mathrm{sen\,} x}\cdot \cos x+\dfrac{1}{\cos x}\cdot \mathrm{sen\,}x=5\\ \\ \\ \dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,} x}+\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}=5$


Reduzindo o lado esquerdo ao mesmo denominador, temos

$\dfrac{\cos x\cdot \cos x}{\mathrm{sen\,} x\cdot \cos x}+\dfrac{\mathrm{sen\,} x\cdot \mathrm{sen\,}x}{\mathrm{sen\,} x\cdot \cos x}=5\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2\,}}x}{\mathrm{sen\,} x\cdot \cos x}=5$


O numerador do lado esquerdo é a Relação Trigonométrica Fundamental:

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2\,}}x=1$


Substituindo, chegamos a

$\dfrac{1}{\mathrm{sen\,} x\cdot \cos x}=5\\ \\ \\ \mathrm{sen\,} x\cdot \cos x=\dfrac{1}{5}\;\;\;\;\;(i)$


Desenvolvendo a potência da expressão pedida, temos

$\left(\mathrm{sen\,}x+\cos x \right)^{2}\\ \\ =\mathrm{sen\,}^{2}x+2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x+\cos^{2}x\\ \\ =2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x+(\cos^{2}x+\mathrm{sen\,}^{2}x)\\ \\ =2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x+1$


Substituindo acima o valor do produto encontrado na igualdade $(i),$ temos

$2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x+1\\ \\ =2\cdot \dfrac{1}{5}+1\\ \\ =\dfrac{2}{5}+1\\ \\ =\dfrac{2+5}{5}\\ \\ =\dfrac{7}{5}\\ \\ \\ \Rightarrow\;\;\boxed{ \begin{array}{rcl} (\mathrm{sen\,}x+\cos x)^{2}=\dfrac{7}{5} \end{array} }$