Question

→Trigonometria na circunferência;
→ Seno, cosseno e tangente de um arco trigonométrico;
→ Funções trigonométricas;
→ Equações trigonométricas.






ATIVIDADE PARA REALIZAR:

1) O que são arcos e o que são ângulos? Dê exemplos.


2) O que é um grau? E um radiano?


3) O que significa π(pi) e qual seu valor aproximadamente?


4) Por que πrad é igual a 180°?


5) Converta em radianos:
a) 90°
b) 45°
c) 270°
d) 120°


6) Obtenha a 1ª determinação positiva e o nº de voltas da circunferência
trigonométrica de arco 765°.​

Answer 1

1) O que são arcos e o que são ângulos? Dê exemplos.

→ Arco

É uma parte qualquer do comprimento de uma dada circunferência, delimitado por dois pontos distintos. Este arco possui um comprimento que é diretamente proporcional à medida do angulo central.

O arco pode ser representado pela figura em anexo.

→ Ângulo

É a união interna de duas semirretas que tem uma mesma origem, ou seja, partem de um mesmo ponto, chamado de vértice do angulo.

$\setlength{\unitlength}{0.6cm}\begin{picture}(7,5) \linethickness{0.5pt}\put(1.6,3.05){\circle*{0.4}} \put(4.1,5.1){\large \bf A } \put(3.9,4.9){\circle*{0.4}} \put(4.3,1){\large \bf B } \put(4,1.3){\circle*{0.4}}\thicklines \bezier(2,3.5)(2.3,3.1)(2,2.7) \put(2.3,3){\large \boldsymbol\alpha } \put(1.5,3.1){\line(4,3){2.5}}\put(1.5,3.1){\line(4,-3){2.5}} \end{picture}$

2) O que é um grau? E um radiano?

Quando se trata de ângulos, os graus e radianos são duas medidas diferentes para representação dos mesmos, sendo 1 grau correspondente a uma fração de $\sf \frac{1}{360}$, e o radiano corresponde exatamente à razão entre o comprimento do arco da circunferência e seu raio.

3) O que significa π(pi) e qual seu valor aproximadamente?

π faz parte de simbologia matemática e é utilizado para cálculos envolvendo relações trigonométricas em círculos e triângulos.

Seu valor não é um valor exato, mas por convenção, seu valor aproximado é de 3,14.

4) Por que πrad é igual a 180°?

Com base na definição acima, e considerando a definição de rad como $\sf \frac{C}{r}$, podemos substituir a equação do comprimento da circunferência e encontrar a medida em radianos da volta inteira da circunferência.

$\begin{array}{l}\bf rad \boldsymbol\rightarrow \dfrac{C}{r}\\\\\bf rad \boldsymbol\rightarrow \dfrac{2\times\pi\times\diagup\!\!\!\!r}{\diagup\!\!\!\!r}\\\\\boxed{\large\bf rad \boldsymbol\rightarrow 2\pi}\end{array}$

Logo, sabendo que 360º equivalem a 2πrad, podemos definir 180º como πrad, tal que:

$\begin{array}{r}\bf 360^{o}\: \xrightarrow{\quad~~}\bf 2\pi rad\\ \bf 180^{o}\xrightarrow{\quad~~}\:\bf \boldsymbol\alpha\kern0.7cm\end{array}\\\\\begin{array}{l}\bf 360^{o}\boldsymbol\alpha = 360^{o}\pi rad\\\\\bf \boldsymbol\alpha = \dfrac{360^{o}\pi rad}{360^{o}}\\\\\boxed{\large\bf \boldsymbol\alpha = \pi rad}\end{array}$

5) Converta em radianos:

Basta utilizar a mesma regra acima para os cálculos, porém considerando 180º:

a) 90°

$\begin{array}{l}\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 90^{o} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o}}\\\\\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 90^{o^{\div 90}} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o^{\div 90}}}\\\\\boxed{\large\bf 90^{o} = \frac{\boldsymbol\pi}{2}\bf rad}\end{array}$

b) 45°

$\begin{array}{l}\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 45^{o} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o}}\\\\\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 45^{o^{\div 45}} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o^{\div 45}}}\\\\\boxed{\large\bf 45^{o} = \frac{\boldsymbol\pi}{4}\bf rad}\end{array}$

c) 270°

$\begin{array}{l}\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 270^{o} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o}}\\\\\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow \dfrac{3\boldsymbol\pi}{2} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{\boldsymbol\pi}\\\\\boxed{\large\bf 270^{o} = \frac{3\boldsymbol\pi}{2}\bf rad}\end{array}$

d) 120°

$\begin{array}{l}\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow 120^{o} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{180^{o}}\\\\\bf\boldsymbol\alpha \rightarrow \dfrac{2\boldsymbol\pi}{3} \times \dfrac{\boldsymbol\pi}{\boldsymbol\pi}\\\\\boxed{\large\bf 120^{o} = \frac{2\boldsymbol\pi}{3}\bf rad}\end{array}$

6) Obtenha a 1ª determinação positiva e o nº de voltas da circunferência trigonométrica de arco 765°

Para a determinação da quantidade de voltas, basta dividir a medida do arco por 360º (os decimais serão ignorados), e para a 1ª determinação positiva, basta subtrair o resto da divisão pela medida do arco:

$\begin{array}{l}\bf n_{voltas} = \dfrac{C}{360}\\\\\bf n_{voltas} = \dfrac{765}{360}\\\\\boxed{\large\bf n_{voltas} = 2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\bf 1^{a}_{Det+} = 765-360\times2\\\\\bf 1^{a}_{Det+} = 765 - 720\\\\\boxed{\large\bf 1^{a}_{Det+}= 45^{o}}\end{array}$

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