Question

TRIGONOMETRIA
(Fuvest-SP) No intervalo [0,90] determine o conjunto solução da inequação sen(2x) – cos(x) > 0.

Answer 1

Intervalo ⇒ [0 , 90°] ou [0 , π/2] → 1º quadrante !

Primeiramente, temos que respeitar os intervalos do 1º quadrante, que são :

cos(x) ≥ 0 e ≤ 1 e sen(x) ≥ 0 e ≤ 1.

O 1º quadrante é delimitado por 0 rad (0°) e por π/2 rad (ou 90°).Tratando-se de ângulos notáveis, já podemos considerar que :

0 ≤ x ≤ π/2 (ou 0° ≤ x ≤ 90°).

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sen(2*x) - cos(x) > 0

Recorrendo à soma de arcos, temos que :
sen(2*x) → sen(x + x) = 2 * sen(x) * cos(x).
2 * sen(x) * cos(x) - cos(x) > 0

Colocando cos(x) em evidência :
cos(x) * (2 * sen(x) - 1) > 0

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Tratando-se de desigualdade dupla, as únicas combinações possíveis são :
cos(x)  e (2 * sen(x) - 1) ambos positivos (positivo * positivo = positivo);
cos(x)  e (2 * sen(x) - 1) ambos negativos (negativo * negativo = positivo) ⇒ 

Essa última combinação (cos(x)  e (2 * sen(x) - 1) ambos negativos) é impossível para o intervalo [0,π/2], pois no primeiro quadrante sen e cos ≥ 0 e ≤ 1 ! Logo, cos(x) < 0  não seria válido.

cos(x) * (2 * sen(x) - 1) > 0
Comparando cada membro da multiplicação à desigualdade (ambos têm que ser > 0) :

cos(x) > 0 → Lembrando que o cosseno "começa" 0 no 90° e, à medida que descemos pelo arco do 1º quadrante, ele vai aumentando, então, temos :

x < arccos(0) (Pois o cosseno aumenta conforme o ângulo do 1º quad. diminui)

Usando o intervalo do primeiro quadrante :
x < π/2 rad (ou 90°).

...

2 * sen(x) - 1 > 0

2 * sen(x) > 1

sen(x) > 1/2 

x > arcsen(1/2) → Aqui, não inverte-se a desigualdade, pois à medida que o ângulo do 1º quad. aumenta, o seno aumenta também

Usando o intervalo do primeiro quadrante :

x > π/6 (ou 30°).

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Juntando os intervalos :

(0 ≤ x ≤ π/2) ∩ (x < π/2) ∩ (x > π/6) →

(π/6 < x < π/2)

O conjunto verdade (V) é :

V = {x ∈ R | π/6 < x < π/2}

(V = {x ∈ R | 30° < x < 90°}
Ou também :

V = ] π/6; π/2 [

(V = ] 30°; 90°;[)