Question

Triângulo equilátero e circunferência ⇒ FUVEST


O círculo I, de raio J, está inscrito no triângulo equilátero XYZ. Um círculo de raio P está no interior do triângulo e é tangente a I externamente a dois lados do triângulo.

a) Determine a razão entre J e P;

b) Determine a área de XYZ em função de P.

Answer 1

A altura do triângulo é igual a três vezes o raio quando triângulo é equilátero:
Comparando a altura do triângulo com o raio do círculo maior:
$H=3r$
$H=3J$

Percebe-se também que a altura do triângulo imaginário menor que circunscreve a circunferência de raio P é igual a J.
Como: $H=3r$
Para o triângulo menor podemos dizer:
$J=3P$
Então:
$\boxed{\frac{J}{P}=3}$

Agora, como a altura do triângulo maior é $H=3J$
Temos:
$H=3*3P$
$H=9P$

Aplicando a fórmula da altura do triângulo para descobrimos o lado em função de P:
$\boxed{H=\frac{l\sqrt{3}}{2}}$
$2H=l\sqrt{3}$
$2*9P=l\sqrt{3}$
$18P=l\sqrt{3}$
$\boxed{l=\frac{18P}{\sqrt{3}}}$
$l=6\sqrt{3}P$

Área:
$\boxed{St=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}}$
$\boxed{St=\frac{(6\sqrt{3}P)^2\sqrt{3}}{4}}$
$\boxed{St=\frac{36*3P^2\sqrt{3}}{4}}$
$\boxed{St=9*3P^2\sqrt{3}}$
$\boxed{\boxed{Resposta:St=27\sqrt{3}P^2}}$