Question

Três satélites artificiais são colocados em órbita em torno da Lua. A tabela abaixo fornece algumas características desses objetos.
a) Copie a tabela em seu caderno e complete-a usando a lei de Kepler adequada à situação.
a.1) Quanto que vale o raio orbital do "Moon Observer" ?
a.2) Quanto que vale o período do "Selenium"?
b) De acordo com a lei de Kepler, o valor da massa do satélite é determinante na razão entre o raio e o período? Justifique.​

Answer 1

Achei a tabela em um site qualquer. Pus aqui na questão.

De acordo com a terceira lei de Kepler, podemos relacionar os valores dispostos na tabela, já que os três supostos satélites orbitam a Lua:

R³/T² = constante

Essa constante é valida para o Lunna 1, o Moon Observer e o Selentum!

Logo, vamos aplicá-la, relacionando o Lunna 1 com Moon Observer, para completar a tabela:

a.1)

R³/4² = X³/32²

X³ = R³.1024/16

X³ = R³.64 ( vamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados)

X = 4R

Ou seja, o raio orbital do Moon Observer vale 4R.

a.2)

Agora vamos aferir o raio orbital do Selentum:

R³/4² = 9R³/T²

R³/16 = 81R³/T² ( Cortamos o R³)

1/16 = 81/T²

T² = 81.16

T = √1296 = 32

Isto é, o período em dia do Selentum é de 32 dias.

b) Como se pode ver, segundo a 3° Lei de Kepler, a massa em nada influencia na razão do raio orbital pelo período, já que a fórmula só envolve essas duas grandezas.

Answer 2

Utilizando a terceira lei de Kepler temos:

a1) O raio orbital do satélite Moon Observer é de 4R;

a2) O período do satélite Selenium é de 108 días;

b) A razão entre o raio e o período orbital do satélite é independente da massa do satélite.

Determinação do raio orbital do satélite Moon Observer

Tendo o raio orbital e o período do satélite Luna 1, podemos calcular o raio orbital do satélite Moon Observer utilizando a terceira lei de Kepler:

$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}\\\\r_2=r_1\sqrt[3]{\frac{T_2^2}{T_1^2}}=R\sqrt[3]{\frac{(32d)^2}{(4d)^2}}=4R$

Cálculo do período do satélite Selenium

Utilizando como referência o período orbital e o raio orbital do satélite Moon Observer podemos calcular o período do satélite Selenium, tendo também o raio da sua órbita, utilizando também a terceira lei de Kepler:

$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_3^2}{r_3^3}\\\\T_3=T_1\sqrt{\frac{r_3^3}{r_1^3}}=4d\sqrt{\frac{(9R)^3}{R^3}}\\\\T_3=108d$

Função da massa nos períodos e nos raios orbitais

A expressão da terceira lei de Kepler, sendo T o período e r o raio orbital de um objeto orbitando a outro de maior massa, é:

$\frac{T^2}{r^3}=k$

Em que k é uma constante que depende do corpo de maior massa, e seu valor é igual para todos os objetos que orbitarem ao corpo celeste de maior massa. Ou seja, a razão entre o raio e o período do satélite não depende da massa do satélite, depende somente da massa da Lua neste caso.

Saiba mais sobre as leis de Kepler em https://brainly.com.br/tarefa/11174

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