Três números positivos estão em PA. Sua soma é igual a 45 e, se acrescentarmos a eles, respectivamente, 2, 1 e 8, obteremos uma PG. Então, o menor deles é?
Soluções para a tarefa
Resposta:
O menor deles é 6
Explicação passo-a-passo:
Vamos lá,
Primeiro chamaremos os três números positivos de x,y e z:
A = {x,y,z}
A soma de uma progressão aritmética é dada por:
S = (An + A1)N / 2 (Equação descoberta pelo menino Gauss)
S = (z + x)3 / 2
S = (3z + 3x) / 2
(3z+3x)/2 = 45
3z + 3x = 90
z+x = 30
Pela propriedade de uma progressão aritmética, temos que:
(x + z)/2 = y
30/2 = y
y = 15
A = {x, 15, z}
Acrescentando a eles os valores 2, 1 e 8 temos:
B = {x+2, 16, z+8}
Utilizando a propriedade de uma progressão geométria:
a.c = b²
(x+2)(z+8) = 256
xz + 8x + 2z +16 = 256
Temos o sistema:
I) xz + 8x + 2z = 240
II) x + z = 30
x = 30 - z (Isolando x na equação II)
z(30-z) + 8(30-z) + 2z = 240 (substituindo x na equação I)
30z -z² + 240 - 8z + 2z = 240
-z² + 24z = 0
z(-z + 24) = 0
z = 0 ou z = 24
Portanto:
A = {x, 15, 24}
Como x+z = 30
x = 6
Portanto:
A = {6, 15, 24}
Vamos somar para confirmar, 6 + 15 + 24 = 45 (V)
Contudo, sendo z = 0, temos A = {30,15,0}
Vamos somar para confirmar, 30 + 15 + 0= 45 (V) PORÉM, 0 não é positivo nem negativo, portanto o menor só pode ser 6
Logo o menor deles é 6
Não esqueça de selecionar a melhor resposta desejada! Isso motiva a comunidade a manter a qualidade nas respostas! Boa noite e ótimo fim de semana!