Question

Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é:

a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

Answer 1

Seja a PA(a,b,c)

Propriedade da PA:

Se a+b+c=30  ---> b = 10  (média)

Então já sabemos que a PA é  (a,10,c) e dai, por outra propriedade da PA:
a+c=20 ---> c=20-a

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A PG será:

PG(a+4, 10-4, c-9), ou seja:
PG(a+4, 6, c-9)

Podemos então escrever a igualdade (relativa a razão da PG):

$\frac{6}{a+4}=\frac{c-9}{6}\\ \\ (a+4)(c-9)=36 \\ \\ ac-9a+4c-36=36\\ \\ ac-9a+4c=72 \\ \\ a(20-a)-9a+4(20-a)=72 \\ \\ a=8$

A PA então é:  8,10,c)   Logo c = 12

E a resposta certa é a LETRA C