Question

três números estão em PA quais são esses números se o produto e 420 e a soma -12

Answer 1

PA: (x, x + r, x + 2r)
Sendo x como a1 e r como razão.

x + (x + r) + (x + 2r) = -12
3x + 3r = -12

x . (x + r) . (x + 2r) = 420

Antes de realizar essa multiplicação e cair numa equação de 3° grau vamos manipular a primeira expressão.

3x + 3r = -12
3x = -12 - 3r
x = (-12 - 3r)/3
x = -4 - r

Agora vamos tentar substituir isso na segunda.

x . (x + r) . (x + 2r) = 420
(-4 - r). (-4 - r + r) . (-4 - r + 2r) = 420
(-4 - r). (-4) . (-4 + r) = 420

(a + b) . (a - b) = a² - b²

(-4 + r) . (-4 - r) . (-4) = 420
((-4)² - (r)²) .(-4) = 420
(16 - r²) . (-4) = 420
-64 + 4r² = 420
4r² = 484
r = + ou - 11

Agora vamos substituir isso na primeira equação.

3x + 3r = -12
3x + 3.11 = -12
3x + 33 = -12
3x = -45
x = -15

Então,

PA: (x, x + r, x + 2r)
PA: (-15, -15 + 11, -15 + 2.11)
PA: (-15, -4, 7)

ou então usando a razão negativa.

3x + 3r = -12
3x + 3.(-11) = -12
3x - 33 = -12
3x = 21
x = 7

PA: (x, x + r, x + 2r)
PA: (7, 7 - 11, 7 + 2.(-11))
PA: (7, -4, -15)

Answer 2

$x_1 + x_2 + x_3 = -12 \\ x_1.x_2.x_3 = 420 \\ \\ 2x_2 = x_1 + x_3 \\ \\ 2x_2 + x_2 = -12 \\ 3x_2 = -12 \\ x_2 = -4 \\ \\ 2x_2 = x_1 + x_3 \\ 2(-4) = x_1 + x_3 \\ x_1 + x_3 = -8 \\ \\ x_1.(-4).x_3 = 420 \\ x_1.x_3 = -105 \\ \\ x_1 = -15 \\ x_3 = 7$

P.A {-15, -4, 7}

ou

P.A {7, -4, -15}