Question

Três números estão em pa. A soma dos três números é 42. Assinale a opção que apresenta o valor correto do termo do meio.

Answer 1

O termo do meio $b$ é 14.

O enunciado nos deu uma progressão aritmética de 3 termos cuja soma é 42. Vamos chamar a PA de $P_n=\{a,b,c\}$, onde:

$\begin{cases}a=\text{primeiro termo}\\b=\text{termo do meio}\\c=\text{ultimo termo}\end{cases}$

O enunciado nos pede para encontrar $b$.

• A soma dos termos da PA é dada pela fórmula $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$, onde:

$\begin{cases}a_1=\text{primeiro termo}=a\\a_n=\text{ultimo termo}=c\\n=\text{quantidade de termos da PA=3}\end{cases}$

Se a soma é 42, então:

$\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=S_n\\\\\dfrac{(a+c) \cdot3}{2}=42\\ \\a+c=\dfrac{42 \cdot2}{3} \\\\a+c=28 \rightarrow \text{Eq. 1}$

• A razão da PA é a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer. Se nossa PA é $P_n=\{a,b,c\}$ então:

$b-a=\text{raz}\tilde{a}\text{o}\\\\c-b=\text{raz}\tilde{a}\text{o}\\\\b-a=c-b\\\\b+b=a+c\\\\2b=a+c \rightarrow \text{Eq. 2}$

Substituindo a equação 1 na equação 2:

$2b=a+c\\\\2b=28\\\\b=\dfrac{28}{2} \\\\ \boxed{b=14}$

Portanto, o termo do meio $b$ é 14.

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Answer 2

O termo do meio dessa PA é 14.

Preâmbulo

• Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre constante e chamada de razão.
• Conforme essa definição considere uma PA de três termos cujo termo central é a e sua razão é r.

1° termo: a − r

2° termo: a

3° termo: a + r

Resolução

• Se a soma dos três números é 42, então:

(a − r) + a + (a + r) = 42 ⟹ Reduza os termos semelhantes.

a − r + a + a + r = 42

3a = 42 ⟹ Divida ambos os membros por 3.

a = 14

O termo do meio dessa PA é 14.

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