Matemática, perguntado por viniciusvazaguiar123, 3 meses atrás

Três números estão em PA. A soma desse três números é 15, e seu produto é 105. Determine a diferença entre o maior e o menor deles


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Soluções para a tarefa

Respondido por Kin07
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A partir dos devidos cálculos realizados, chegamos na conclusão de que as duas PA: (3, 5 ,7) e ( 7 , 5 , 2)  e a diferença entre o maior e o menor deles é 4.

Progressão aritmética ( P.A ) é uma sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do 2° ) e o termo antecedente é sempre a mesma ( constante ). A constante é chamada de razão r.

Exemplo:

\large \textstyle \sf   \text  {$ \sf  \bullet \quad  5,7,9,11,13, \dotsi   $ }  , é uma PA de termo inicial a_1 = 5 e razão r = 2.

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  \begin{cases}\sf a_1 = 5 \\ \sf a_2 =7 \\ \sf a_3 = 9 \\  \sf a_4 = 11 \\ \sf a_5 = 13 \end{cases}  } $ }

Dados fornecidos pelo enunciado:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  \begin{cases} \sf (x-r ) +x  +(x+r)  = 15 \\ \sf (x -r) \cdot x \cdot (x+r)  = 105   \end{cases}  } $ }

Resolução:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  x- \diagup\!\!\!{  r} +x  +x+ \diagup\!\!\!{ r } = 15 } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{3x = 15    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  x = \dfrac{15}{3}   } $ }

\Large \boldsymbol{  \displaystyle \sf x = 5  }

Determinar a razão:

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ (x-r ) \cdot x \cdot (x+r) = 105    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ (5-r ) \cdot 5 \cdot (5+r) = 105    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{( 5 -r ) \cdot (5+r)  = \dfrac{105}{5}   } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 25 -r^{2} = 21    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ 25 - 21 = r^{2}    } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{ r^{2}  = 4  } $ }

\Large \displaystyle \text {  $  \mathsf{  r = \pm \sqrt{4}   } $ }

\Large \boldsymbol{  \displaystyle \sf  r =  \pm 2 }

Portanto, as duas PA: (3, 5 ,7) e ( 7 , 5 , 2).

O menor número da sequência é 3 e o maior número é 7.

A diferença entre eles é igual a 7 - 3 = 4.

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