Question

Três números em p.a apresentam uma soma igual a 9 E uma soma de seus quadrados igual a 59 esses 3 números são dados por

Answer 1

Resposta:

(-1, 3, 7)

Explicação passo-a-passo:

(a1, a2, a3)

a1 + a2 + a3 = 9

(a1)² + (a2)² + (a3)² = 59

$sn = \frac{(a1 + an)n}{2} \\ 9 = \frac{(a1 + a3).3}{2} \\ 3.(a1 + a3) = 18 \\ a1 + a3 = 6$

Como a1 + a3 = 6, então a2 = 3.

a1 = 6 - a3

(a1)² + (a2)² + (a3)² = 59

(6 - a3)² + 3² + (a3)² = 59

36 - 12a3 + (a3)² + 9 + (a3)² = 59

2(a3)² - 12a3 + 36 + 9 - 59 = 0

2(a3)² - 12a3 - 14 = 0

(a3)² - 6a3 - 7 = 0

Se a3 = x, temos:

x² - 6x - 7 = 0

∆ = b² - 4ac

∆ = (-6)² - 4.1.(-7)

∆ = 36 + 28

∆ = 64

x = (-b ± √∆)/2a

x = (6 ± 8)/2

x' = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7 (a3 = 7)

x" = (6 - 8)/2 = -2/2 = -1 (a3 = -1 [não serve])

a1 = 6 - a3 (para a3 = 7)

a1 = 6 - 7

a1 = -1

a1 = 6 - a3 (para a3 = -1)

a1 = 6 - (-1)

a1 = 6 + 1

a1 = 7 (não serve)

Nesse caso, (a1, a2, a3) é uma P.A. crescente, onde temos (-1, 3, 7).

Answer 2

Resposta: P.A (7, 3, - 1) ou P.A (- 1, 3, 7), os termos são - 1, 3 e 7.

Explicação passo-a-passo:

Como é uma P.A, então, existi uma razão(r) na qual os termos desconhecidos serão representados da seguinte maneira.

$a_{1}$ = x

$a_{2}$ = x + r

$a_{3}$ = x + 2r

Onde para cada termo que acrescentarmos a gente somar a razão em uma vez com relação ao primeiro termo.

A gente tem que a somar dos três termos é igual a 9, logo:

x + (x + r) + (x + 2r) = 9

Desenvolvendo:

$x + (x + r) + (x + 2r) = 9\\\\ 3x + 3r = 9\\\\3.(x + r) = 9\\\\x + r = \frac{9}{3}\\\\x + r = 3$

Perceba que x + r é igual ao nosso segundo termo, ou seja, é igual ao nosso $a_{2}$($a_{2}$ = x + r, lá em cima é possível visualizar), logo a gente tem que o nosso $a_{2}$ = 3.

Para descobrir o restante vamos utilizar a nossa outra informação que o enunciado nos deu. O enunciado diz que a soma dos quadrados dos três termos é igual a 59, logo:

$(a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} = 59\\\\x^2 + 3^2 + (x + 2r)^{2} = 59$

Desenvolvendo:

$x^2 + 3^2 + (x + 2r)^{2} = 59\\\\x^{2} + 9 + x^{2} + 2.x.2r + 2r^{2}  = 59\\\\2x^{2} + 4xr + 4r^{2} = 59 - 9\\\\(2x^{2} + 4xr + 4r^{2}).\frac{1}{2}  = 50.\frac{1}{2}\\\\x^{2} + 2xr + 2r^{2} = 25\:\:\:\:\:\:x + r = 3\:\:\:\:r = 3 - x\\\\x^2 + 2x(3 - x) + 2.(3 - x)^2 = 25\\\\x^{2} - 2x^{2} + 6x + 2.(9 - 6x + x^{2})= 25\\\\x^{2} - 2x^{2} + 6x + 2x^{2} - 12x + 18 = 25\\\\x^{2} - 6x + 18 = 25\\\\x^{2} - 6x + 18 - 25 = 0\\\\x^{2} - 6x - 7 = 0$

Δ = $(- 6)^{2} - 4.1.(-7)$

Δ = $36 + 28$

Δ = 64

$x = \frac{-(-6) +- \sqrt{64}}{2}\\\\x' = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = - 1\:(nao\:\: convem)\\\\x'' = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7\:(convem)$

Como x equivale ao nosso $a_{1}$, então, temos que o nosso $a_{1}$ é igual a 7, pois é a única raiz que convêm, não seria possível o nosso $a_{1}$ ser igual a - 1, pois não formaria uma P.A.

A gente sabe que r + x = 3, sabendo agora o valor de x a gente pode encontrar a razão:

x = 7

7 + r = 3

r = 3 - 7

r = - 4

A gente já tem que o nosso $a_{1}$ = 7 e o nosso $a_{2}$ = 3 para encontrar o $a_{3}$ basta retornamos o nosso $a_{3}$($a_{3}$ = x + 2r) e substituirmos as incógnitas pelos valores encontrados, dessa forma:

x = 7

r = - 4

$a_{3}$ = x + 2r

$a_{3}$ = 7 + 2.(-4)

$a_{3}$ = 7 - 8

$a_{3}$ = - 1

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$a_{1}$ = 7

$a_{2}$ = 3

$a_{3}$ = - 1

Espero ter ajudado!