Question

Tres cargas iguais aQ estao infinitamente distantes umas das outras .considerando zero ,no infinito ,o pontecial de referência, o trabalho anecessario para um agente eterno trazer -las .cada uma, para cada um dos vertices de um triangulo equilatero de lado d,e :(obs.considere .nas altenativa ,k uma constante

Answer 1

Suponha que você esteja trazendo uma carga q do infinito até uma distância R de outra carga q.

Você aplicará uma força para isso, a força $\vec{F}_{V}$. O seu trabalho será:

$\displaystyle{W=\int_{\infty}^{R}\vec F_{V}\cdot d\vec r$

Acontece que a força que você aplica deve ter a mesma intensidade que a força elétrica de repulsão entre as cargas. Temos que $\vec F_{V}=-\vec F_{E}$.

E sabemos que a força elétrica é:

$\displaystyle{\vec F_E=k\frac{q\cdot q}{r^2}\hat r}$

Por causa disso temos que o trabalho também pode ser escrito como:

$\displaystyle{W=\int_{\infty}^R -k\frac{q\cdot q}{r^2}\hat r}\cdot d\vec r$

Como a força tem sempre a mesma direção que a do caminho percorrido, podemos desconsiderar os vetores e escrever:

$\displaystyle{W=kq^2\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^2} dr$

Temos por solução:

$\displaystyle{W=k\frac{q^2}{R}}$

E se tivermos 3 cargas?

Bem, suponha que elas estejam infinitamente distantes de forma que não interajam entre si.

Escolhemos uma das cargas e definimos ali o nosso primeiro vértice. Trabalho nenhum foi realizado.

Em seguida damos um jeito de arranjar uma segunda carga, à uma distância d da primeira, sem que haja interação com a outra carga restante.

Para essa primeira etapa já realizamos um trabalho igual à:

$\displaystyle{W_1=k\frac{q^2}{d}}$

Que é exatamente o que calculamos para uma carga vindo do infinito.

Para a última carga, devemos ser cautelosos. Há a interação com as duas outras cargas já arranjadas.

Felizmente nosso cálculo é facilitado pelo uso do potencial elétrico.

O trabalho realizado para trazer uma carga do infinito é também a energia potencial que a carga possui na distância escolhida.

O potencial elétrico é definido como:

$\displaystyle{V=\frac{U}{q}=k\frac{q}{R}}$

sendo U igual ao trabalho no caso estudado.

A primeira carga que já estava ali contribui para o potencial elétrico. A segunda carga recém colocada irá aumentar o valor.

Como a terceira carga será colocada à uma distância d das duas primeiras (triângulo equilátero), pelo principio da superposição temos que o potencial elétrico no último vértice é de:

$\displaystyle{V=2k\frac{q^2}{d}}$

Por causa disso, o trabalho necessário para arranjar a última carga deverá ser de:

$\displaystyle{W_1=2k\frac{q^2}{R}}$

Por fim, o trabalho total realizado no arranjo das cargas será de:

$\displaystyle{W = W_1+W_2=k\frac{q^2}{R}+2k\frac{q^2}{R}}$

$\displaystyle{\boxed{W = 3k\frac{q^2}{R}}}$