Question

Três amigos, A, B e C devem formar uma fila com outras 6 pessoas. De quantas maneiras podemos formar esta fila de modo que A fique na frente de seus 2 amigos? (Obs: Os amigos não precisam ficar em posições consecutivas)

Answer 1

Esse caso é de soma de permutações. Note que a imposição é que apenas o A fique na frente do B e do C. Vejamos, essa fila terá 9 pessoas, se colocarmos o amigo A na primeira parte da fila, sobram 8 posições para permutar o restante. Se colocarmos a A na segunda, sobra, 7, se colocarnos na terceira, sobra 6... até chegarmos na posição 7, que é a ultima posição que o A pode ficar, sobrando duas posições para o B e o C permutarem. Assim teremos a seguinte soma:
P₈+P₇+P₆+P₅+P₄+P₃+P₂=
8!+7!+6!+5!+4!+3!+2! = 40320+5040+720+120+24+6+2=46232

Ou seja, existem 46232 maneiras diferentes de organizar essa fila de modo que A fique na frente de B e C.

Answer 2

Temos as maneiras de dispor a fila

_ _ _ _ _ A , aqui a disposição de B e C = 5.4 = 20 e dos restantes é 3!

_ _ _ _ A _ , aqui a disposição de B e C = 4.3 = 12 e dos restantes é 3!

_ _ _ A _ _  , aqui a disposição de B e C = 3.2 = 6 e dos restantes é 3!

_ _ A _ _ _ , aqui a disposição de B e C = 2.1 = 2 e dos restantes é 3!

Decisão 1: disposição de B e C = 20 + 12 + 6 + 2 = 40

Decisão 2: disposição do restante = 3!

Pelo princípio multiplicativo,  se uma decisão D1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão D1, a decisão D2 pode ser tomada de y maneiras, então as decisões D1 e D2 podem ser tomadas de x.y maneiras

Portanto, o total de maneiras será D1.D2 = (20 + 12 + 6 + 2).3! = 40.6=240