Question

Três alunos chamados João, Maria e José resolveram uma prova com 100 questões e cada
um deles acertou exatamente 60 delas. Uma questão é classificada como difícil se apenas
um aluno a acertou e é classificada como fácil se os três a acertaram. Sabemos que cada
uma das 100 foi resolvida por pelo menos um aluno. Existem mais questões difíceis ou
fáceis. Além disso, determine a diferença entre a quantidade de questões difíceis e fáceis.

Answer 1

supondo que o primeiro aluno acertou as questões de 1 até a 60, no extremo das hipóteses, o segundo aluno deveria acertar as outras 40 questões, dessa maneira tendo uma intersecção de 20 questões restantes. 
primeira constante: dois alunos acertaram 20 questões iguais.

Existe apenas uma possibilidade para o terceiro aluno: Ele acertou as mesmas 20 questões iguais às que os 2 alunos anteriores, isso significa que:
20 questões são fáceis, 40 questões são difíceis.

Por que 40 são difíceis?, supondo que o terceiro acertou da 1 até a 60, 20 questões seriam necessariamente iguais às que os outros 2 alunos acertaram, 40 questões seriam iguais às do primeiro aluno somente, e as 40 restantes apenas o segundo aluno teria acertado

Answer 2

Existem mais questões difíceis do que fáceis.

 São sempre 20 questões difíceis a mais que as fáceis formando pares :
(fáceis, difíceis) →(1,21),(2,22),(3,23),...(38,58)(39,59),(40,60).

Existem as questões acertadas por dois alunos , consideradas nem fáceis e nem difíceis .

De acordo com o diagrama de Venn ( ver anexo )

vamos considerar :

a → questões fáceis 
b,c ,d →nem fáceis e nem difíceis 
x,y,z  → difíceis

Veja que João =x+a+b+c=60 ,  José = y+a+b+d=60  e Maria = z+a+c+d=60

temos então  x=60-a-b-c  ;   y =60-a-b-d    e     z= 60- a-c-d  

sabemos que   x+y+z+a+b+c+d=100  substituindo temos

60-a-b-c+60-a-b-d+60-a-c-d + a+b+c+d= 100  reduzindo os termos

180-b-c-d-2a=100 ⇒180-100=b+c+d+2a ⇒ 80= a+b+c+d+a ⇒

a+b+c+d = 80-a   voltando em x+y+z+a+b+c+d=100 e substituindo 

x+y+z+(80-a) = 100 ⇒ x+y+z= 100-(80-a)⇒x+y+z=100-80+a logo

x+y+z = 20+a    ( 20 difíceis  a mais que as fáceis)