Question

Transforme esse limite em uma indeterminação do tipo 0/0 e depois resolva-o utilizando a Regra de L'Hospital.

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{ln( \frac{1+x}{-1+x}) }{1/x} )$

Answer 1

1/∞ = 0

(1+x)/(x-1)=x(1/x+1)/x(1-1/x)=(1/x+1)/(1-1/x)=(1/∞+1)/(1-1/∞)=1
ln 1 =0

derivando ln [(1+x)/(x-1)]

=[(1+x)/(x-1)]'  *   1/[(1+x)/(x-1)]

=[(x-1)-(1+x)]/(x-1)²  *   1/[(1+x)/(x-1)]

=-2/(x-1)²  *   (x-1)/(x+1)

=-2/(x-1)(x+1)


derivando (1/x) ==>-1/x²

Lim  2x²/(x-1)(x+1)  =
x-->∞

Lim  2x²/(x²-1)  
x-->∞

LIm  2x²/x²(1-1/x²)  
x-->∞

LIm  2/(1-1/x²)   =2/(1-1/∞²)=2/(1-0)=2
x-->∞