Question

Trabalho sobre Progressões! (PA e PG)

Na América Latina, a população cresce à taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em, 1993, sua população era de P habitantes. Persistindo essa taxa de crescimento anual, qual será a população da América Latina em 2010?

Answer 1

Em 1993 a população era P

Em 1994, a população aumentou 3%, ou seja, nesse ano a população será 
P + 3%de P = P + 0,03P = 1,03P

Em 1995, a população será a de 1994 mais 0,3% dela:
1,03P + 0,03.1,03P = 1,0609P = 1,03².P

Em 1996:
1,0609P + 0,03. 1,0609P = 1,092727P = 1,03³.P

Isso nos dá uma PG onde o primeiro termo é P e a razão é q = 1,03

PG (p, 1,03².P, 1,03³.P, ...)

Em 2010 se passarão 17 anos desde 1993, mas em nossa PG, temos incluso o ano de 1993 onde a população era P, assim, teremos 18 anos em questão, pois o primeiro termo é a população de 1993, o segundo termo a populaça se 1994, e assim sucessivamente. O ultimo termo será a população de 2010, sendo esse ultimo termo o 18° termo. 

Para saber qual será essa população de 2010 vamos usar a seguinte formula:

$a_{n} = a_{1}. q^{n-1}$

Pelos dados obtidos no problema:

$a_{18} = P. (1,03)^{18-1} \\ \\ a_{18} = P. (1,03)^{17}$

Logo, a população de 2010 será P. (1,03)^(17), ou ainda resolvendo essa potência, 

Em 2010 a população será (1,6528)P