Question

Tomando as raízes da equação 40x2 - 13x + 1 = 0 e somando seus
inversos, obtemos a medida, em cm, do lado de uma placa quadrada
de metal.
O perímetro dessa placa, em cm, é
0,1.
1,3
26.
52.
104.

Answer 1

A alternativa que corresponde ao perímetro dessa placa é a 4ª opção) 52.

⠀

Dada a equação do 2º grau

                                              $\Large\qquad\begin{array}{l}\sf40\:\!x^2-13\:\!x+1=0\\\\\end{array}$

, pelo enunciado sabemos que a soma do inverso de suas raízes é a igual à medida, em cm, do lado de uma placa quadrada de metal.

Sendo assim, primeiramente vamos encontrar o valor dessas raízes, x₁ e x₂. Fazendo por Bhaskara:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{\:b^2-4ac~}}{2a}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{-\,(-\,13)\pm\sqrt{\:(-\,13)^2-4\cdot40\cdot1~}}{2\cdot40}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{13\pm\sqrt{\:169-160~}}{80}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{13\pm\sqrt{\:9~}}{80}\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{~13\pm3~}{80}\\\\\iff~\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{13+3}{80}=\dfrac{16}{80}=\dfrac{~1~}{5}\\\\\sf x_2=\dfrac{13-3}{80}=\dfrac{10}{80}=\dfrac{~1~}{8}\end{cases}\end{array}$

Agora vamos calcular o valor do lado da placa de metal, que é a soma do inverso das raízes. O inverso de um número é a mudança do numerador com o denominador, assim:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf l=(x_1)^{-\,1}+(x_2)^{-\,1}\\\\\sf\iff~~~l=\bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^{\!\!-\,1}+\bigg(\dfrac{1}{8}\bigg)^{\!\!-\,1}\\\\\sf\iff~~~l=\dfrac{~5~}{1}+\dfrac{~8~}{1}\\\\\sf\iff~~~l=5+8\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boxed{\sf l=13~cm}\end{array}$

E por fim, a questão pede o perímetro dessa placa. Para calculá-la basta fazer a soma dos lados, e como essa placa é quadrada ela possui 4 lados iguais, podemos fazer:

$\\\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf P=4\:\!l\\\\\sf\iff~~~P=4\cdot13\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf P=52~cm}}\end{array}$

R: dessarte, a 4ª opção) 52 responde a questão.

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