Question

Texto da questão
O vetor u = (2 ,13) escrito como combinação linear dos vetores da Base = { ( 2 , 3 ) ; ( 4 , 1 )}
Escolha uma:
a. 3(2,3) - 6(4,1)
b. 5(2,3) - 2(4,1)
c. 4(2,3) - 3(4,1)
d. 7(2,3) - 3(4,1)

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Texto da questão
A transformação linear na qual temos T((2,3)) = (8,-6) e T((1,1)) = (3,-1) é melhor representada por:
Escolha uma:
T((x,y)) = (4x + y, 3x – 2y)
T((x,y)) = (x + 2y, 3x – 4y)
T((x,y)) = (x + 3y, 2x – y)
T((x,y)) = (x + 7y, 3x – y)

Answer 1

Fiquei com dó, do seu desespero, e vou fazer só essas duas questões, porque você me lembrou como faz transformações lineares.

$\vec{u}=(2,13)$

$Base=\{(2,3);(4,1)\}$

Desta forma

$\alpha_1\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}+\alpha_2\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\13\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2\alpha_1\\3\alpha_1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\alpha_2\\\alpha_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\13\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2\alpha_1+4\alpha_2\\3\alpha_1+\alpha_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\13\end{bmatrix}$

$\begin{Bmatrix}2\alpha_1+4\alpha_2&=&2\\3\alpha_1+\alpha_2&=&13\end{matrix}$

Resolvendo esse sistema

$\boxed{\boxed{\alpha_1=5~~e~~\alpha_2=-2}}$

$T_1(2,3)=(8,-6)~~e~~T_2(1,1)=(3,-1)$

Desta forma vamos fazer o seguinte

Supondo que:

$X\Rightarrow~ax+by=c$

$Y\Rightarrow~dx+ey=f$

$X=\begin{Bmatrix}2a+3b&=&8\\a+b&=&3\end{matrix}$

$X=\begin{Bmatrix}a&=&1\\b&=&2\end{matrix}$

$Y=\begin{Bmatrix}2d+3e&=&-6\\d+e&=&-1\end{matrix}$

$Y=\begin{Bmatrix}d&=&3\\e&=&-4\end{matrix}$

Portanto

$\boxed{\boxed{\therefore~T(X,Y)=(x+2y;3x-4y)}}$