Question

Texto Base
Um lago é poluído pelos reeitos de uma fábrica siderúrgica no
interior de Minas Gerais. Os ecologistas observam que,
quando a concentração de poluentes é x partes por milhão (ppm),
existem F peixes de uma certa espécie de tilápia no lago,onde.

F= 32.000 / (3+√(x))

Enunciado
Quando existem 8.000 peixes no lago,a poluição está aumentando
à taxa de 1,0 ppm/ano. Com que taxa a população de peixes está
variando por anual nessa situação?

Answer 1

$F=\dfrac{32000}{3+\sqrt{x}}$

Vamos encontrar x quando F = 8000:

$8000=\dfrac{32000}{3+\sqrt{x}}\\\\\\\dfrac{3+\sqrt{x}}{32000}=\dfrac{1}{8000}\\\\\\3+\sqrt{x}=\dfrac{32000}{8000}=4\\\\\\\boxed{\boxed{\sqrt{x}=1~~(suficiente)}}$
___________________________

Derivando a expressão implicitamente em relação ao tempo:

$\dfrac{dF}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{32000}{3+\sqrt{x}}\right)\\\\\\\dfrac{dF}{dt}=32000\dfrac{d}{dt}(3+\sqrt{x})^{-1}\\\\\\\dfrac{dF}{dt}=32000(-1)\cdot(3+\sqrt{x})^{-2}\dfrac{d}{dx}(3+\sqrt{x})\dfrac{dx}{dt}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dF}{dt}=-\dfrac{32000}{(3+\sqrt{x})^{2}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\dfrac{dx}{dt}}}$

Agora, como $\frac{dx}{dt}=1~ppm/ano$ e $\sqrt{x}=1$:

$\dfrac{dF}{dt}=-\dfrac{32000}{(3+\sqrt{x})^{2}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\dfrac{dx}{dt}\\\\\\\dfrac{dF}{dt}=-\dfrac{32000}{(3+1)^{2}}\cdot\dfrac{1}{2\cdot1}\cdot1\\\\\\\dfrac{dF}{dt}=-\dfrac{16000}{4^{2}}\\\\\\\dfrac{dF}{dt}=-\dfrac{16000}{16}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{dF}{dt}=-1000~peixes/ano}}$

Answer 2

A população de peixes está variando em -1000 peixes/ano.

O valor de x na expressão quando o número de peixes é 8000 é:

8000 = 32000/(3+√x)

3 + √x = 32000/8000

3 + √x = 4

√x = 4 - 3

√x = 1

Conhecemos a taxa de variação da poluição em relação ao tempo, então, vamos derivar implicitamente a expressão em relação ao tempo:

dF/dt = d/dt(32000/(3 + √x))

dF/dt = 32000.d/dt(3+√x)⁻¹

dF/dt = -32000/(3+√x)² . 1/2√x . dx/dt

Como dx/dt = 1 ppm/ano, temos:

dF/dt = -32000/(3+1)² . 1/2.1 . 1

dF/dt = -32000/4² . 1/2

dF/dt = -32000/32

dF/dt = -1000 peixes/ano

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