Question

Texto Base

O estudo da primeira derivada fornece os pontos de máximo e mínimo de uma função; no gráfico abaixo temos representados para a curva de uma função os pontos de máximo e mínimo.

Enunciado

Uma fábrica tem como um de seus produtos embalagens cilíndricas. Sabendo que essas embalagens devem ter uma área de 200 cm2, quais são as dimensões para que a embalagem tenha um volume máximo?

Answer 1

Boa noite!

A área total da embalagem vale 200cm².
$\displaystyle{A=2\pi{R}(R+H)}\\\displaystyle{200=2\pi{R}(R+H)}\\\displaystyle{H=\frac{100}{R\pi}-R}$

O volume de uma embalagem cilíndrica é dada pela expressão:
$\displaystyle{V=\pi{R^2}H}\\\displaystyle{V=\pi{R^2}\left(\frac{100}{R\pi}-R\right)}\\\displaystyle{V=100R-\pi{R^3}}$

Para obter o volume máximo iremos derivar e igualar a zero:
$\displaystyle{V'=100-3\pi{R^2}=0}\\\displaystyle{R=\sqrt{\frac{100}{3\pi}}}\\\displaystyle{\boxed{R\approx{3,26cm}}}$

Dimensões:
$\displaystyle{H=\frac{100}{R\pi}-R}\\\displaystyle{H=\frac{100}{3,26\pi}-3,26}\\\boxed{H\approx{6,51cm}}$

Espero ter ajudado!