Question

Texto base:


Determine a equação geral do plano que contém os pontos A(1,0,2), B(-1,2,-1) e C(1,1,-1).




Alternativas:


a) x + y + 2z + 4 = 0


b) 2x + 5y + 4z + 1 = 0


c) x + y + z + 4 = 0


d) 6x + 5y + 3z + 4 = 0


e) 3x + 6y + 2z + 4 = 0

Answer 1

Seja P(x, y, z) um ponto qualquer desse plano. Sabemos que o plano também contém os pontos A(1, 0, 2), B(−1, 2, −1) e C(1, 1, −1).

Tomando o ponto A como ponto de partida, podemos obter três vetores deste plano:

     $\mathsf{\overset{\to}{u}=\overset{\longrightarrow}{AP}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{u}=P-A}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{u}=(x,\,y,\,z)-(1,\,0,\,2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{u}=(x-1,\,y,\,z-2)}$


     $\mathsf{\overset{\to}{v}=\overset{\longrightarrow}{AB}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=B-A}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(-1,\,2,\,-1)-(1,\,0,\,2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(-1-1,\,2-0,\,-1-2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(-2,\,2,\,-3)}$


     $\mathsf{\overset{\to}{w}=\overset{\longrightarrow}{AC}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}=C-A}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}=(1,\,1,\,-1)-(1,\,0,\,2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}=(1-1,\,1-0,\,-1-2)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{w}=(0,\,1,\,-3)}$


Como os três vetores acima são coplanares, o produto misto entre eles deve ser igual a zero:

     $\mathsf{\big[\overset{\to}{u},\,\overset{\to}{v},\,\overset{\to}{w}\big]=0}\\\\\\ \begin{vmatrix}\mathsf{u_1}&\mathsf{u_2}&\mathsf{u_3}\\\mathsf{v_1}&\mathsf{v_2}&\mathsf{v_3}\\\mathsf{w_1}&\mathsf{w_2}&\mathsf{w_3}\end{vmatrix}=\mathsf{0}\\\\\\\\ \begin{vmatrix}\mathsf{(x-1)}&\mathsf{y}&\mathsf{(z-2)}\\\mathsf{-2}&\mathsf{2}&\mathsf{-3}\\\mathsf{0}&\mathsf{1}&\mathsf{-3}\end{vmatrix}=\mathsf{0}$


     $\begin{array}{ccccccc} &\mathsf{(x-1)\cdot 2\cdot (-3)}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{y\cdot (-3)\cdot 0}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{(z-2)\cdot (-2)\cdot 1}\\ -\!\!\!&\mathsf{0\cdot 2\cdot (z-2)}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{1\cdot (-3)\cdot (x-1)}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{(-3)\cdot (-2)\cdot y}&=\mathsf{0}\end{array}\\\\\\ \begin{array}{ccccccc}-\!\!\!&\mathsf{6(x-1)}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{2(z-2)}\\ -\!\!\!&\mathsf{0}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{3(x-1)}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{6y}&=\mathsf{0} \end{array}\\\\\\ \mathsf{-6(x-1)-2(z-2)+3(x-1)-6y=0}\\\\ \mathsf{-6x+6-2z+4+3x-3-6y=0}\\\\ \mathsf{-6x+3x-6y-2z+6+4-3=0}\\\\ \mathsf{-3x-6y-2z+7=0}$

     $\mathsf{3x+6y+2z-7=0\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


Atenção para as alternativas. Nenhuma alternativa é a correta. Observe que para nenhuma delas os três pontos dados satisfazem a equação simultaneamente.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)