Question

$x = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{8} + ... = 100$

Answer 1

Queremos achar o valor de x que soluciona

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{8}+...=100$

Se olharmos para o lado esquerdo da igualdade, vemos termos de uma sequência sendo somados.

Os termos dessa sequência são

$\bullet\,\,a_{1}=\dfrac{x}{2}\\\\\\\bullet\,\,a_{2}=\dfrac{x}{4}=\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=a_{1}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\\\bullet\,\,a_{3}=\dfrac{x}{8}=\dfrac{x}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=a_{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\\vdots$

De modo geral, temos que um termo da sequência é a metade do termo anterior. Portanto, tal sequência é uma progressão geométrica de razão $q=\frac{1}{2}$, e seu termo geral é dado por

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}=\dfrac{x}{2}\cdot\Bigg(\dfrac{1}{2}\Bigg)^{n-1}=\dfrac{x}{2^{n}}$

Como $|q|=\frac{1}{2}\,\textless\,1$, temos que a soma infinita dos termos dessa progressão geométrica é convergente, e seu valor é dado por

$S_{\infty}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...=\dfrac{a_{1}}{1-q}$

Portanto:

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{8}+...=100\\\\\\S_{\infty}=100\\\\\\\dfrac{a_{1}}{1-q}=100\\\\\\\dfrac{(\frac{x}{2})}{1-\frac{1}{2}}=100\\\\\\\dfrac{(\frac{x}{2})}{(\frac{1}{2})}=100\\\\\\\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{2}{1}=100\\\\\\x\cdot1=100\\\\\\\boxed{\boxed{x=100}}$