Question

$x^{2} -\frac{4x}{x-3}$ dividido por $x+\frac{4x^{2}+4x}{x^{2}-2x-3}$ para x≠3 e x≠-1 da:
No gabarito a resposta é x-4, eu preciso de uma resolução para eu entender como chegar no resultado por favor

Answer 1

Resposta:

x-4, para x ≠ 3 e x ≠ -1

Explicação passo-a-passo:

Olá, tudo bem? Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Como já excluímos a possibilidade de $x$ ser igual a $3$ ou $-1$, podemos começar reescrevendo isso de um modo que consigamos trabalhar.

$x^2-\dfrac{4x}{x-3}=x^2\cdot\dfrac{x-3}{x-3}-\dfrac{4x}{x-3}=\dfrac{x^3-3x^2-4x}{x-3}=\dfrac{x(x^2-3x-4)}{x-3}$

Devemos aqui lembrar que todo polinômio $p(x)$ pode ser escrito da forma $p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)$, onde $\alpha$ é uma raíz do polinômio e $q(x)$ é outro polinômio, com grau menor que $p(x)$.

Ou seja, achando as raízes de $x^2-3x-4$ (use Bháskara), podemos reescrever como  $(x+1)\cdot(x-4)$.

Portanto, $x^2-\dfrac{4x}{x-3} = \dfrac{x(x+1)(x-4)}{x-3}$

Da mesma maneira, com a segunda parte teremos:

$x+\dfrac{4x^2+4x}{x^2-2x-3}=\dfrac{x^3-2x^2-3x}{x^2-2x-3}+\dfrac{4x^2+4x}{x^2-2x-3}=\\\\=\dfrac{x^3+2x^2+x}{x^2-2x-3}=\dfrac{x(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-3)} = \dfrac{x(x+1)}{x-3}$

Finalmente, efetuando a divisão teremos:

$\dfrac{x(x+1)\cdot(x-4)}{x-3}\div\dfrac{x(x+1)}{x-3} = \dfrac{x(x+1)\cdot(x-4)}{x-3}\cdot\dfrac{x-3}{x(x+1)} = x-4$

Se ficou com dúvida em algum passo, só perguntar ;)