Question

para a função F(X)= -X²+10X-16

A) OS COEFICIENTES
B)AS COORDENADAS DO VÉRTICE
C) RAÍZES
D) O VALOR MÁXIMO

Answer 1

Para descobrir os 4 itens necessários, podemos usar métodos e fórmulas específicas para cada caso. Abaixo, separo e demonstro todos os cálculos.

• a) coeficientes da função

Os coeficientes de uma equação de segundo grau podem ser obtidos pensando no seguinte modelo:

F(x) = ax² + bx + c,

Onde a, b e c são os coeficientes da função. No caso da função que nos foi dada, os coeficientes são:

$\left\{\begin{array}{lr} \mathsf{a:~-1}\\ \mathsf{b:~10}\\ \mathsf{c:~-16}\\ \end{array}\right.$

Esses coeficientes serão importantes para o desenvolvimento dos próximos itens.

• b) as coordenadas do vértice da função

A coordenadas de um ponto no plano cartesiano são expressas no formato (x, y), onde:

1. x refere-se ao eixo horizontal e pode ser obtido pela fórmula $\mathsf{\dfrac{-b}{2a}}$.
2. y refere-se ao eixo vertical e pode ser obtido pela fórmula $\mathsf{\dfrac{-\Delta}{4a}}$ .

Calculando as coordenadas, usando como base os coeficientes, teremos:

$\mathsf{x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-10}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-10}{-2}=5}$

Para o cálculo de y usaremos delta, que pode ser pensado como b² - 4ac. Teremos:

$\mathsf{y=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(b^2-4\cdot a\cdot c)}{4\cdot a}=\dfrac{-(10^2-4\cdot(-1)\cdot(-16))}{4\cdot(-1)}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{-(100-4\cdot16)}{-4}=\dfrac{-(100-64)}{-4}=\dfrac{-36}{-4}=9}$

As coordenadas são (5, 9).

• raízes da função

Para descobrir os raízes de uma função, basta a igualar a zero e buscar as a raízes de x pela fórmula de Bháskara - onde também usaremos os coeficientes. Vamos aos cálculos.

A fórmula de Bháskara é:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

Substituindo as letras pelos coeficientes da questão a, e o delta (que já encontramos antes) por 36, teremos:

$\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-10\pm\sqrt{36}}{2\cdot(-1)}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-10\pm6}{-2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{(-10\pm6)^{:2}}{-2^{:2}}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-5\pm3}{-1}}$

Encontrando as duas raízes, teremos:

$\mathsf{x_1=\dfrac{-5+3}{-1}=\dfrac{-2}{-1}=2}\\\\\\ \mathsf{x_2=\dfrac{-5-3}{-1}=\dfrac{-8}{-1}=8}$

Assim, temos como resultado:

$\mathsf{x=\left\{x\in\mathbb{R}~|~2,8\right\}}$

• valor máximo da função

Para encontrar o valor máximo de uma função devemos usar as mesmas fórmulas usadas para encontrar as coordenadas, ou seja:

$\mathsf{x_V=\dfrac{-b}{2a}~~~e~~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}}$

Como já fizemos os cálculos antes, podemos definir o valor máximo igual a (5, 9).

Segue em anexo uma representação gráfica.