Question

$Uma~caixa~retangular~sem~tampa~deve~ser~feita~com~12m^2~de~papel\~ao.\\Determine~o~volume~m\'aximo~de~tal~caixa.$

 

As respostas aceitas deverão conter:

 

Multiplicador de Lagrange ou Derivadas parciais.

 

Obrigado.

Answer 1

Fala, meu irmão.

O Método dos Multiplicadores de Lagrange enunciado para $\mathbb{R}^3$ estabelece que, dada uma função objetiva $f(x,y,z),$ sujeita à restrição $g(x,y,z)=k,$ os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema:

$\begin{cases}\nabla f(x,y,z)=\lambda\nabla g(x,y,z)\\\text{sujeito a }g(x,y,z)=k\end{cases}$

$\lambda$ é chamado de Multiplicador de Lagrange.

No presente caso, para que possamos aplicar o teorema, façamos:

$\begin{cases}f(x,y,z)=xyz\text{ (volume)}\\g(x,y,z)=2xz+2yz+xy\text{ (\'area da superf\'icie da caixa sem a tampa)}\\k=12\text{ (quantidade de papel\~ao dispon\'ivel)}\end{cases}$

Os cálculos, agora, são com você.
"Dá seus pulos" (hehe...).