Question

$\texttt{(50 PONTOS) Determine as dire\c{c}\~oes em que a derivada direcional}\\\\ \texttt{de } \mathtt{f(x,\,y)=ye^{-xy}}\texttt{ no ponto (0,\,2) tem valor 1.}$

Answer 1

Notando que $f$ é uma função diferenciável, pois é o produto de duas funções diferenciáveis ($y$ é um polinômio e $e^{-xy}$ é a função exponencial, que é diferenciável), podemos usar a seguinte formulação para a derivada direcional:

$D_{\mathbf{v}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{v}$

Onde $\mathbf{v}$ é o vetor unitário na direção que queremos calcular a derivada direcional.

Achando o gradiente de $f$:

$\nabla f(x,y)=\bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x},~\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg)=\bigg(\dfrac{\partial}{\partial x}(ye^{-xy}),~\dfrac{\partial}{\partial y}(ye^{-xy})\bigg)\\\\\\\nabla f(x,y)=(-y^{2}e^{-xy},e^{-xy}-xye^{-xy})$

Avaliando o gradiente em $(0,2)$:

$\nabla f(0,2)=(-2^{2}e^{0},~e^{0}-0)=(-4,1)$

Então, devemos encontrar $\mathbf{v}$ tal que $\nabla f(0,2)\cdot\mathbf{v}=1$ e $||\mathbf{v}||=1$ (pois $\mathbf{v}$ deve ser unitário)

Desenvolvendo a primeira expressão, sendo $\mathbf{v}=(x,y)$:

$D_{\mathbf{v}}f(0,2)=\nabla f(0,2)\cdot\mathbf{v}=1~~~\Leftrightarrow\\\\(-4,1)\cdot(x,y)=1~~~\Leftrightarrow\\\\-4x+y=1~~~\Leftrightarrow\\\\y=1+4x$

Então, temos $\mathbf{v}=(x,y)=(x,~1+4x)$. Agora, de $(\mathbf{ii})$:

$||\mathbf{v}||=1~~~\Leftrightarrow\\\\||\mathbf{v}||^{2}=1~~~\Leftrightarrow\\\\x^{2}+(1+4x)^{2}=1\\\\x^{2}+(1^{2}+8x+16x^{2})=1\\\\17x^{2}+8x=0\\\\x\cdot(17x+8)=0~\begin{cases}x=0\\\\17x+8=0~~~\Leftrightarrow~~~x=-\dfrac{8}{17}\end{cases}$

Então, temos 2 vetores que satisfazem $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$:

$\mathbf{v_{0}}=(0,1+4\cdot0)=(0,1)\\\\\mathbf{v_{1}}=(-\frac{8}{17},~1+4\cdot(-\frac{8}{17}))=(-\frac{8}{17},-\frac{15}{17})$

Portanto, a derivada direcional de $f$ no ponto $(0,2)$ tem valor 1 na direção de $\mathbf{v_{0}}$ e $\mathbf{v_{1}}$