Question

$\textsf{Determinar~~m~~na equa\c{c}\~ao}~~\mathsf{mx^2-2(m-1)x+m=0}\textsf{ para que se tenha}\\\\\mathsf{\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4,~onde~x_1~e~x_2~s\~ao~as~ra\'izes~da~equa\c{c}\~ao.}$

Answer 1

Para facilitar vamos chamar de r e s as raízes
S = -b/a => r + s = 2(m-1)/m e P = c/a => rs = m/m => rs = 1
 r/s + s/r = 4 => (r² + s²)/rs = 4 => [(r + s)² -2rs]/rs = 4
[(r + s)²- 2.1]/1= 4 => (r + s)² - 2 = 4 => (r + s)² = 6
[2(m - 1)/m]² = 6=> 4(m² - 2m +1)/m² = 6 => 4m² - 8m + 4 = 6m²
-2m² - 8m + 4 = 0 => m² + 4m - 2 = 0
Δ = 16 - 4.1.(-2) = 24
m = (-4 -2√6)/2 = -2 - √6 ou
m = (-4 + 2√6)/2 = -2 + √6

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Equação parametrica :

Dada a equação :

mx² - 2(m-1)x + m = 0

Determinar o m tal que :

$\mathsf{\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}~=~4 }$

Para a resolução desta questão é necessário que haja um pouco de conhecimento sobre a equação do segundo grau .

Exactamento sobre Soma e produto das raízes .

Se $\mathsf {x_{1}~e~x_{2}}$ são raízes , podemos concluir que :

$\begin{cases} \mathsf{ x_{1}+x_{2}~=~-\dfrac{b}{a}~\rightarrow~Soma } \\ \\ \mathsf{x_{1}.x_{2}~=~\dfrac{c}{a} ~\rightarrow~Produto} \end{cases}$

Vamos pegar na expressão dada no enuciado e fazer o mínimo múltiplo comum :

$\mathsf{\dfrac{x_{1}.x_{1}+x_{2}.x_{2}}{x_{1}.x_{2}}~=~4}$

$\mathsf{\dfrac{x^2_{1}+x^2_{2}}{x_{1}.x_{2}}~=~4 }$

Note que :

$\boxed{\mathsf{a^2+b^2~=~(a+b)^2-2ab }}}}$

Adoptando isso na expressão anterior ter-se-á :

$\mathsf{\dfrac{(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}}{x_{1}.x_{1}}~=~4 }$

Substituindo na Soma e produto das raízes :

$\mathsf{Coeficientes:}\begin{cases} \mathsf{a~=~m} \\ \\ \mathsf{b~=~-2(m-1)} \\ \\ \mathsf{c~=m} \end{cases}$

$\mathsf{\dfrac{\Big(\frac{2(m-1)}{m}\Big)^2-2.\frac{m}{m}}{\frac{m}{m}}~=~4}$

$\mathsf{\dfrac{\frac{4(m-1)^2}{m^2}-2.1}{1}~=~4 }$

$\mathsf{\dfrac{4(m^2-2m+1)-2m^2}{m^2}~=~4}$

$\mathsf{4m^2-8m+4-2m^2~=4m^2 }$

$\mathsf{2m^2-8m+4~=~4m^2 }$

$\mathsf{4m^2-2m^2+8m-4~=~0 }$

$\mathsf{2m^2+8m-4~=0}$ >>>Vamos dividir toda a Equação por 2 :

$\boxed{\boxed{\mathsf{m^2+4m-2~=~0 }}}}$

$\mathsf{Coeficientes:}\begin{cases}~\mathsf{a~=~1} \\ \\ \mathsf{b~=~4} \\ \\ \mathsf{c~=~-2} \end{cases} \end{cases}$

$\mathsf{\blue{\Delta~=~b^2-4ac}}$

$\mathsf{\Delta~=~4^2-4.1.(-2) }$

$\mathsf{\Delta~=~16+8 }$

$\mathsf{\Delta~=~24 }$

$\mathsf{m~=~\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}$

$\mathsf{m~=~\dfrac{-4\pm\sqrt{24}}{2.1}~=~\dfrac{-4\pm\sqrt{4.6}}{2} }$

$\mathsf{m~=~\dfrac{\cancel{-4}\pm\cancel{2}\sqrt{6}}{\cancel{2}} }$

$\mathsf{m~=~}\begin{cases}\mathsf{\red{m_{1}~=~-2+\sqrt{6}}} \\ \\ \mathsf{\red{m_{2}~=~-2-\sqrt{6}}} \end{cases}$

Espero ter ajudado bastante!)