Question

$\sum _{n=1}^{\infty \:}\frac{\left(-1\right)^n\cdot 2n}{n!}$

Verifique se a série converge ou diverge usando algum dos testes
de convergência estudados. Indique qual teste você usou.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos realizar um teste de convergência.

Seja o somatório:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{(-1)^n\cdot 2n}{n!}}$

Utilizaremos o teste da razão:

Seja o somatório uma série de termos positivos:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~a_n$

Para um valor de $n$ grande, a razão:

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

A depender do valor que esta razão assume, existem três classificações possíveis:

• Se $L<1$, a série é absolutamente convergente.
• Se $L=1$, o teste é inconclusivo.
• Se $L>1$ ou $L=\infty$, a série é divergente.

Então, substituindo $a_n=\dfrac{(-1)^n\cdot 2n}{n!}$, teremos:

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\left|\dfrac{\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot 2(n+1)}{(n+1)!}}{\dfrac{(-1)^n\cdot 2n}{n!}}\right|$

Sabendo que $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ e calculando a fração de frações, teremos:

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\left|\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot 2(n+1)}{(n+1)\cdot n!}\cdot\dfrac{n!}{(-1)^n\cdot 2n}}\right|$

Multiplique e simplifique as frações

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\left|\dfrac{-1}{n}\right|$

Sabendo que $\left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$, temos:

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{|-1|}{|n|}$

Sabendo que os valores de $n\geq1$, calculamos o módulo:

$L=\underset{n\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{1}{n}$

Calcule o limite da função

$L=0$

Observe que este é o caso em que $L<1$, dessa forma conclui-se que a série é absolutamente convergente.

Por curiosidade, é possível determinar o valor deste somatório:

Observe que $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{(-1)^n\cdot 2n}{n!}=2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n\cdot n}{n!}$

Sabendo que $e^x=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}~\dfrac{x^n}{n!},\forall x\in\mathbb{C}$ e que $n!=n\cdot (n-1)!$, facilmente obtemos:

$\displaystyle{2\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(n-1)!}$

Ao realizarmos o somatório, obtemos:

$2\cdot(-e^{-1})\\\\\\ 2\cdot\left(-\dfrac{1}{e}\right)\\\\\\ -\dfrac{2}{e}$