Question

$\sqrt{x - 10 \sqrt{x + 9} }$=0
resolvam em R as essa euqcao irracional .​

Answer 1

A única forma em que uma raiz pode ser 0 é quando o radicando é igual a 0, logo precisaremos igualar o radicando a zero.

$\sqrt{x-10\sqrt{x+9}}=0 \\ x- 10\sqrt{x+9}=0 \\ -10\sqrt{x+9} = -x \\\\ Elevando \ ambos \ os \ lados \ ao \ quadrado: \\\\ (-10\sqrt{x+9})^2 = (-x)^2 \\ 100(x+9) = x^2 \\\\ \boxed{-x^2+100x+900=0} \equiv \boxed{x^2-100x-900=0} \\\\ \Delta = b^2-4*a*c \\ \Delta = (-100)^2-4*1*(-900) \\ \Delta = 10000+3600 \\ \boxed{\Delta = 13600} \\\\ x = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x' = \frac{100+\sqrt{13600}}{2} = \frac{100+20\sqrt{34}}{2} = \frac{100+20\sqrt{34}}{2} = \boxed{50+10\sqrt{34}}$

$x'' = \frac{100-\sqrt{13600}}{2} = \frac{100-24\sqrt{34}}{2} = \frac{100-24\sqrt{34}}{2} = \frac{2(50-10\sqrt{34})}{2} = \boxed{50-10\sqrt{34}}$

Logo, o conjunto solução de x é:

$\boxed{S = \boxed{50+10\sqrt{34}}}$

Provando:

$\sqrt{x-10\sqrt{x+9}}=0 \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10\sqrt{50+10\sqrt{34}+9}}=0 \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10\sqrt{\boxed{50}+10\sqrt{34}+\boxed{9}}}=0 \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10\sqrt{59+10\sqrt{34}}}=0 \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10\sqrt{(5+\sqrt{34})^2}}=0 \rightarrow Aqui \ simplificamos \ o \ expoente \ 2 \ pelo \ indice \ da \ raiz \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10(\sqrt{34}+5)}=0 \\ \sqrt{50+10\sqrt{34}-10\sqrt{34}-50}= 0 \\ \sqrt{0}=0 \\ \boxed{0=0} \checkmark$