Question

$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2} } }$

Answer 1

Queremos uma resposta simples e reduzida do monstro que parece

$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2} } }$

Quando temos a raiz n-ésima de um número podemos substituir por:

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

Vamos fazer isso para toda raiz cúbica que temos:

$(2\times(2\times 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}$

Utilizaremos de outras duas propriedades dos expoentes:

Dados a, b e x números:

$x^a\times x^b=x^{a+b}$

$(x^a)^b=x^{a\times b}$

Agora com essas propriedades vamos manipular:

$(2\times(2\times 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}$

$(2\times(2^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}$

$(2\times2^{\frac{4}{9}})^{\frac{1}{3}}$

$(2^{\frac{13}{9}})^{\frac{1}{3}}$

$2^{\frac{13}{27}}$

Ou seja,

$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2} } }=\sqrt[27]{2^{13}}$