Question

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2}+x-x$




r:1/2

Answer 1

Creio que a expressão correta seja:

$L=\lim_ {x\to\infty}\sqrt{x^2+x}-x$

Vamos multiplicar em cima e embaixo praticamente pela mesma expressão do limite, mudando apenas o sinal do meio, a fim de conseguirmos elevar ao quadrado o termo que está na raiz quadrada:

$L=\lim_ {x\to\infty}\sqrt{x^2+x}-x\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\times\dfrac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{(\sqrt{x^2+x})^2-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$

Vamos colocar x em evidência no numerador e no denominador:

$L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{x}{x(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1)}\\\\ L=\lim_ {x\to\infty}\dfrac{1}{(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1)}\\\\ L=\dfrac{1}{(\sqrt{1+0}+1)}\\\\ L=\dfrac{1}{(1+1)}\\\\ L=\dfrac{1}{2}\\\\ \boxed{\lim_ {x\to\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{1}{2}}$