Question

$\lim_{x \to \ 16} \ \frac{ \sqrt{x} - 4 }{ \sqrt[4]{x} - 2}$

 Porfavor NÃO USAR derivadas.

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}$

Quando temos limites envolvendo operações com raízes no denominador, geralmente multiplicar o numerador e o denominador pelo "conjugado" (expressão com sinal trocado) do denominador nos ajuda, então vamos fazer isso:

$\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{(\sqrt{x}-4)\cdot(\sqrt[4]{x}+2)}{(\sqrt[4]{x}-2)\cdot(\sqrt[4]{x}+2)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt[4]{x}+2)}{(\sqrt[4]{x})^{2}-2^{2}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt[4]{x}+2)}{\sqrt[2]{x}-4}$

$\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt[4]{x}+2)}{\sqrt{x}-4}$

Como, no limite, avaliamos a função para x arbitrariamente próximo de 16 (mas diferente de 16), temos que x ≠ 16, então podemos cancelar √(x) - 4:

$\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\lim\limits_{x\rightarrow16}(\sqrt[4]{x}+2)\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=\sqrt[4]{16}+2\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=2+2\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow16}\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt[4]{x}-2}=4}}$