Question

$\lim_{x \to \13} (\frac{x+3}{x-3} - \frac{36}{ x^{2} - 9 } )$

A resposta é 2, gostaria da resolução.

Answer 1

$\lim_{x \to 3}( \frac{x+3}{x-3}- \frac{36}{x^2-9} )$


(x²-9) é uma equação do segundo grau..suas raízes são 3 e -3 
escrevendo uma equação do segundo grau na forma fatorada seria
(x-r') * (x-r'')
onde r' e r'' são as raízes
então reescrevendo temos
$x^2-9=(x-(-3))*(x-3)\\\\x^2-9=(x+3)*(x-3)$

ou seja x²-9 é a diferença dos quadrados...x²-3² = (x-3)*(x+3)
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
agora temos a expressão
$\boxed{ \frac{x+3}{x-3} - \frac{36}{(x-3)*(x+3)} }$

veja que para reduzir os dois termos ao mesmo denominador
vc teria que ter (x+3) no  denominador do primeiro termo
então vc multiplica ele em cima e em baixo por (x+3)

$\frac{(x+3)*(x+3)}{(x-3)*(x+3)} - \frac{36}{(x-3)*(x+3)} \\\\= \boxed{\frac{(x+3)^2-36}{(x-3)*(x+3)} }$

vc pode reescrever 36 como 6²..assim vc terá novamente a diferença dos quadrados e irá transformar a expressão em um produto..para poder cortar o denominador

diferença dos quadrados
a² -b² = (a-b)*(a+b)

resolvendo o numerador

$(x+3)^2-36\\\\(x+3)^2-6^2\\\\(x+3-6)*(x+3+6)\\\\\boxed{(x-3)*(x+9)}$

reescrevendo a expressão e calculando o limite
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)*(x+9)}{(x-3)*(x+3)} \\\\\\= \lim_{x \to 3} \frac{(x+9)}{(x+3)} = \frac{3+9}{3+3}=2$