Question

$\lim_{x \to -1}\frac{x+1}{\sqrt[3]{2x+3}-1 }$

Me ajudem com essa, passo a passo, preciso entender esse conjugado.

Answer 1

Pretendemos calcular o valor do limite:

$\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{2x+3} - 1}.$

Substituindo diretamente $x \to -1$ obtemos uma indeterminação:

$\dfrac{-1+1}{\sqrt[3]{-2+3} - 1} = \dfrac{0}{0} \to \textrm{indetermina\c{c}\~{a}o}.$

Precisamos então de manipular a expressão de forma a levantar a indeterminação. Para isso, recorde então a propriedade:

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).$

Vamos neste caso tomar $a= \sqrt[3]{2x+3}$ e $b = 1$. Portanto, multiplicamos e dividimos pela quantidade:

$a^2 + ab + b^2 = (2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1$

Vem então:

$\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{2x+3} - 1} \times \dfrac{(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1}{(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1}.$

Aplicando agora a propriedade inicial ao denominador, vem:

$\dfrac{x+1}{(\sqrt[3]{2x+3})^3 - 1^3} \times [(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1].$

Obtém-se então:

$\dfrac{x+1}{2x+3 - 1} \times [(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1] = \dfrac{x+1}{2(x+ 1)} \times [(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1].$

Simplificando para $x \neq -1$, vem:

$\dfrac{(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1}{2} .$

Tomamos agora o limite quando $x \to -1$:

$\lim\limits_{x \to -1}\dfrac{(2x+3)^{2/3} + \sqrt[3]{2x+3} + 1}{2} = \dfrac{(-2+3)^{2/3} + \sqrt[3]{-2+3}+1}{2} = \dfrac{3}{2}.$

Fica assim levantada a indeterminação e obtém-se o resultado final:

$\boxed{\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{2x+3} - 1} = \dfrac{3}{2}}.$