Question

$\lim_{x \to \ 0} (sen (A+ X)- sen A) / x$

Answer 1

lembrando que 
$\boxed{\boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x}=1}}$

.
$\lim_{x \to 0} \frac{sen(a+x) -sen(a)}{x}$

pela formula da soma do seno de dois arcos
$\boxed{sen(A+B)=sen (A)*cos(B) + sen(B)*cos(A)}$

então temos 
$sen(a+x) = sen(a)*cos(x)+sen(x)*cos(a)$

o numerador vai fircar
$sen(a)*cos(x)+sen(x)*cos(a) - sen(a)\\\\= sen(a)*cos(x)- sen(a)+sen(x)*cos(a) \\\\=\boxed{ sen(a)*[cos(x)-1]+sen(x)*cos(a)}$

agora a expressão fica
$\lim_{x \to 0} \frac{sen(a)*[cos(x)-1]+sen(x)*cos(a)}{x} \\\\ = \boxed{\lim_{x \to 0} \frac{sen(a)*[cos(x)-1]}{x} \frac{sen(x)*cos(a)}{x} }$

o limite de uma soma é a soma dos limites
então resolvendo esses dois limites separadamente
$\lim_{x \to 0} \frac{sen(x)*cos(a)}{x} }$

cos(a) é uma constante multiplicando a variavel
então passo ele pro lado d fora do limite
$cos(a)* \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} }\\\\ =\boxed{\boxed{cos(a)*1=cos(a)}}$

resolvendo o outro limite

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(a)*[cos(x)-1]}{x}$

sen(a) é constante 
$sen(a)*\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-1}{x}$

resolvendo ..
multiplica em cima e em baixo por cos(x)+1

$\frac{(cos(x)-1)*(cos(x)+1)}{x*(cos(x)+1)}$

no numerador vc tem uma diferença dos quadrados
já que (A-B)*(A+B) = A² - B²

ficando
$\frac{cos^2(x)-1^2}{x*(cos(x)+1)}$

lembrando que 
sen²x + cos²x =1 
então
cos²x = 1 - sen²(x)

ficamos com
$\frac{1-sen^2(x) -1}{x*[cos(x)+1]} = \boxed{\frac{-sen^2(x)}{x*[cos(x)+1]} }$

reescrevendo o limite
$sen(a)*\lim_{x \to 0} {\frac{-sen^2(x)}{x*[cos(x)+1]} }\\\\\ - sen(a)\lim_{x \to 0} {\frac{sen^2(x)}{x*[cos(x)+1]} }\\\\ =\boxed{-sen(a) \lim_{x \to 0} \frac{sen(x)}{x} * sen(x) * \frac{1}{cos(x)+1} }$

o limite de um produto é o produto dos limites
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$-sen(a) (1 * sen(0) * \frac{1}{cos(0)+1} })\\\\= -sen(a) *(1*0 - \frac{1}{1+1} )\\\\= -sen(a) *0 = 0$

chegamos na resposta
$\boxed{ \boxed{\lim_{x \to 0} \frac{sen(a+x) -sen(a)}{x}=0+cos(a) = cos(a)}}$