Question

$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{2x+3}$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos o valor do limite $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{1}{2x+3}$, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são deriváveis e logo, contínuas em $c$.

Por serem contínuas, podemos reescrever o limite como:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}=L$

Então, pela definição de continuidade, temos:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)-g(c)}=L$

Divida o numerador e o denominador por $x-c$

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Fazendo a substituição $x-c=\Delta{x}$, podemos ver que $c=x-\Delta{x}$. Quando $\Delta{x}\rightarrow0$, $x\rightarrow~c$, logo:

$\dfrac{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{g(x)-g(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}=L$

Pela definição de derivada, nosso limite se torna:

$\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$

Tal que $x\rightarrow c$, logo

$\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$

Voltemos para o limite que queremos calcular

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{1}{2x+3}$

Aplique a regra de l'Hôpital, visto que as funções são retas com valores bem definidos por todo o conjunto dos reais.

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{(1)'}{(2x+3)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função, isto é: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

No numerador, aplicamos a regra da constante. No denominador, a regra da soma:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{0}{(2x)'+(3)'}$

Aplique a regra do produto e a regra da constante

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{0}{2\cdot (x)'}$

Aplique a regra da potência

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{0}{2}$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~0$

Sabendo que o limite de uma constante é igual a própria constante, ficamos com:

$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{1}{2x+3}=0$.

Answer 2

Resposta:

OLÁ

VAMOS A SUA PERGUNTA:⇒⇒

$\sf \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{2x+3}$

$\sf =\dfrac{ \lim_{x \to \infty}(1) }{ \lim_{x \to \infty} (2x+3)}$

$\sf \lim_{x\to \infty}(1)=1$

$\sf \lim_{x\to \infty}(2x+3)=\infty$

$\sf =\dfrac{1}{\infty}$

$\boxed{\bold{\displaystyle{\clubsuit\ \spadesuit\ \maltese\ \sf \red{=0}}}}\ \checkmark$← RESPOSTA.

Explicação passo-a-passo:

ESPERO TER AJUDADO