Question

$\large\begin{array}{l}\textsf{Calcule o seguinte determinante:}\\\\\\\begin{vmatrix} ~\mathsf{2sin(x)}&\mathsf{3cos(x)}\\~\mathsf{1-2cos(x)} & \mathsf{3sin(x)+2} \end{vmatrix}\end{array}$

Answer 1

$\displaystyle \det\left|\begin{array}{cc}2\sin(x)&3\cos(x)\\1-2\cos(x)&3\sin(x)+2\end{array}\right|=\\\\ (2\sin(x)\cdot(3\sin(x)+2))-(3\cos(x)\cdot(1-2\cos(x)))=\\6\sin^2(x)+4\sin(x)-3\cos(x)+6\cos^2(x)=\\ \underline{6(\sin^2(x)+\cos^2(x))+4\sin(x)-3\cos(x)}$

pela relação fundamental:
$\sin^2x+\cos^2x=1$
então:
$6(\sin^2(x)+\cos^2(x))+4\sin(x)-3\cos(x)=\underline{6(1)-3\cos(x)+4\sin(x)}$
ou seja:
$\det A(x)=\boxed{6-3\cos(x)+4\sin(x)}$

lembrando que:

$A(x)= \left[\begin{array}{cc}2\sin(x)&3\cos(x)\\1-2\cos(x)&3\sin(x)+2\end{array}\right]$
pois o valor dessa matriz depende de x, então classifiquei ela como sendo uma espécie de função, já que ela possui varias funções que têm como termo independente o mesmo número x