Question

$\large\begin{array}{l}\sf Fac_{_{\!\!\!s}} a\ o\ que\ \acute{e}\ pedido\ em\ cada\ item.\\\\\\ \sf a)\ \,Sabendo\ que\ \:\!\boldsymbol{\sf x+\dfrac{1}{x}=t}\,,\, determine,\,em\ func_{_{\!\!\!s}} \tilde{a}o\ de\ \boldsymbol{\sf t}\\\\ \sf\quad\ ,\:o\ valor\ de\ \boldsymbol{\sf x^2+\dfrac{1}{x^2}}\ .\\\\\\ \sf b)\ \, Resolva\:\!,\: em\ \mathbb{R}\:\!,\: a\ equac_{_{\!\!\!s}} \tilde{a}o\ \boldsymbol{\sf 3^{x^2+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{81}{3^{x+\frac{1}{x}}}}\ .\end{array}$

Answer 1

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⠀⠀Temos ao resolver o que é pedido em cada item, que:

• a) o valor da expressão x² + 1/x² é igual a t²– 2;
• b) essa equação possui três soluções reais e seu conjunto solução é S = {(– 3 + √5)/2 ; (– 3 – √5)/2 ; 1}.

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Resolução dos itens:

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a) Sabemos que x + 1/x = t e desejamos determinar, em função de t, o valor de x² + 1/x². Ora, se há termos ao quadrado na primeira expressão, podemos pensar em elevar os membros da segunda equação ao quadrado, de modo a encontrar:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x+\dfrac{1}{x}=t\\\\\\\sf\implies~~~~\bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^{\!\!2}=(t)^2\\\\\\\sf\implies~~~~(x)^2+2\cdot(x)\cdot\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg)+\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg)^{\!\!2}=t^2\\\\\\\sf\implies~~~~x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=t^2\\\\\\\sf\implies~~~~x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\end{array}$

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⠀⠀Logo, se x + 1/x = t então x² + 1/x² = t² – 2.

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b) Neste item desejamos resolver e encontrar a(s) solução(ões) real(is) da equação proposta. Por se tratar de uma equação exponencial podemos pensar em deixar as bases de ambos os membros iguais a fim de igualar seus expoentes, e por uma breve analise percebo que é possível fazer isso; basta reescrever todas as potências para uma base 3 (três), não se esquecendo de aplicar a propriedade da divisão de potências de mesma base, onde conservamos a base e subtraímos os expoentes:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf3^{x^2\,+\,\frac{1}{x^2}}=\dfrac{81}{3^{x\,+\,\frac{1}{x}}}\\\\\\\sf\implies~~~~3^{x^2\,+\,\frac{1}{x^2}}=\dfrac{3^4}{3^{x\,+\,\frac{1}{x}}}\\\\\\\sf\implies~~~~3^{x^2\,+\,\frac{1}{x^2}}=3^{4\,-\,(x\,+\,\frac{1}{x})}\end{array}$

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⠀⠀Agora perceba que podemos usar os dados obtidos do item a) pois, fazendo a substituição de x² + 1/x² por t² – 2 e x + 1/x por t, teremos:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf3^{t^2\,-\,2}=3^{4\,-\,(t)}\\\\\\\sf\implies~~~~3^{t^2\,-\,2}=3^{4\,-\,t}\\\\\\\sf\implies~~~~t^2-2=4-t\\\\\\\sf\implies~~~~t^2+t-2-4=0\\\\\\\sf\implies~~~~t^2+t-6=0\end{array}$

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⠀⠀Resolvendo essa equação rapidamente por fatoração:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf t^2+3t-2t-6=0\\\\\\\sf\implies~~~~t(t+3)-2(t+3)=0\\\\\\\sf\implies~~~~(t+3)(t-2)=0\\\\\\\sf\implies~~~~t+3=0~~\vee~~t-2=0\\\\\\\sf\implies~~~~t_1=-\,3~~\vee~~t_2=2\end{array}$

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⠀⠀Agora para encontrar o valor de ''x'' retomaremos à t₁ e t₂ = x + 1/x:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf t_1=x+\dfrac{1}{x}~~\vee~~t_2=x+\dfrac{1}{x}\\\\\\\sf\implies~~~~x+\dfrac{1}{x}=-\,3~~\vee~~x+\dfrac{1}{x}=2\\\\\\\sf\implies~~~~x^2+1=-\,3x~~\vee~~x^2+1=2x\\\\\\\sf\implies~~~~x^2+3x+1=0~(i)~~\vee~~x^2-2x+1=0~(ii)\end{array}$

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• Resolvendo a equação (i) por Bhaskara:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\\\\sf\implies~~~~x=\dfrac{-\,3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}\\\\\\\sf\implies~~~~x=\dfrac{-\,3\pm\sqrt{9-4}}{2}\\\\\\\sf\implies~~~~x=\dfrac{-\,3\pm\sqrt{5}}{2}\\\\\\\sf\implies~~~~x_1=\dfrac{-\,3+\sqrt{5}}{2}~~\vee~~x_2=\dfrac{-\,3-\sqrt{5}}{2}\end{array}$

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• Resolvendo a equação (ii) por fatoração:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf x^2-2x+1=0\\\\\\\sf\implies~~~~(x)^2-2\cdot(x)\cdot(1)+(1)^2=0\\\\\\\sf\implies~~~~(x-1)^2=0\\\\\\\sf\implies~~~~\sqrt{(x-1)^2}=\sqrt{0}\\\\\\\sf\implies~~~~|x-1|=0\\\\\\\sf\implies~~~~x-1=0\\\\\\\sf\implies~~~~x_3=1\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, a equação dada possui 3 (três) soluções (x₁, x₂ e x₃) reais, e seu conjunto solução é:

                                  $\text{ \sf S=\bigg\{\dfrac{-\,3+\sqrt{5}}{2}\ \ ;\ \ \dfrac{-\,3-\sqrt{5}}{2}\ \ ;\ \ 1\bigg\} }$

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                             $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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         $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$