Question

$(ITA-2014)$

 

Nível: Bem simples.

 

 

Considere o polinômio complexo $p(z)=z^4+az^3+5z^2-iz-6$, em que a é uma constante complexa. Sabendo que $2i$ é uma das raízeses do $p(z)=0$, as outras três raízes são:

Answer 1

Linda... LINDA, questão, mas não é bem simples, só simples u.u. Relações de Girard e fatoração são as chaves desse problema.

i) Chamarei a raiz que sabemos de $z_1$. A partir das relações de Girard teremos:

$\left\{\begin{array}{l}z_1+z_2+z_3+z_4=-a\\ z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=5\\ z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_1z_3z_4+z_2z_3z_4=i\\ z_1z_2z_3z_4=-6\end{array}\right.$

Trabalharemos com as relações de baixo para cima. Teremos:

$2i.z_2z_3z_4=-6\Rightarrow z_2z_3z_4=3i\\ \\ z_1(z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)+3i=i\Rightarrow 2i(z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4)=-2i\Rightarrow \\ \Rightarrow z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4=-1\\ \\ z_1(z_2+z_3+z_4)-1=5\Rightarrow 2i(z_2+z_3+z_4)=6\Rightarrow z_2+z_3+z_4=-3i\\ \\ z_1+z_2+z_3+z_4=-a\Rightarrow 2i-3i=-a\Rightarrow \boxed{a=i}$

ii) Agora que temos o valor de $a$ podemos escrever o polinômio e fatorá-lo para encontrar suas raízes.

$p(z)=z^4+iz^3+5z^2-iz-6\\ \\ p(z)=(z^4-1)+(iz^3-iz)+(5z^2-5)\\ \\ p(z)=(z^2+1)(z^2-1)+iz(z^2-1)+5(z^2-1)\\ \\ p(z)=(z^2-1)(z^2+iz+6)\\ \\ p(z)=(z+1)(z-1)(z^2+iz+6)$

Resolvendo a equação do segundo grau encontramos que suas soluções são $2i$, a raiz que tínhamos, e $-3i$, daí:

$p(z)=(z+1)(z-1)(z-2i)(z+3i)\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\therefore S=\{ -1,1,2i,-3i\}}}$