Question

$\int\limits^\pi _0 {(\sqrt{r^{2}-x^{2} }) } \, dx$

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para facilitar a digitação, vou calcular a integral indefinida primeiro.

∫√(r² - x²)dx =

senα=x/r ⇒ x = rsenα ⇒ dx = rcosαdα  e  α = arcsenx/r

cosα = √(r²-x²)/r ⇒ √(r²-x²) = rcosα

∫√(r²-x²)dx = ∫r.cosα.r.cosα.dα = ∫r²cos²α dα = r²∫cos²α dα

Cálculos auxiliares

cos2α = cos(α+α) = cos²α - sen²α = cos²α -(1-sen²α) = 2cos²α - 1

Logo, 2cos²α - 1 = cos2α ⇒ 2cos²α = 1 + cos2α ⇒ cos²α = 1/2 + 1/2cos2α

cos²α = 1/2(1 + cos2α)

r²∫cos²α dα = r²∫1/2(1 + cos2α)dα = r².1/2∫dα + r².1/2∫cos2α dα =

r²α/2 + r².1/2 . 1/2 sen2α + C = r²/2.arcsenx/r + r2/4 sen(2arcsex/r) ](0, a π) =

r²/2[arcsenx/2 + 1/2sen(2arcsenx/2)](0 a π) =  

r²/2[asrsenπ/2 +1/2(2arcsenπ/2)]

OBS. não há necessidade de substituir o x por 0, pois o resultado é 0.

Resposta: r²/2[arcsen(π/2) +1/2 (2arcsen(π/2))]