Question

$\int\limits {\frac{5x^2+1}{x-1} } \, dx$ Utilizando o método de substituição u du.

Answer 1

5x²+1 |x-1

- 5x²+5x 5x+5

5x+1

-5x+5

6

$\mathsf{ \dfrac{5x^2+1}{x-1}=5x+5+\dfrac{6}{x-1}}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{5x^2+1}{x-2}dx} \\\mathsf{ =\int(5x+5+\dfrac{6}{x-1})dx} \\ = \displaystyle \mathsf{\int(5x + 5)dx + \int \dfrac{6}{x - 1}dx }$

$\mathsf{u=x-1\to~du=dx}$

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{6}{x-1}dx=\int\dfrac{6du}{u}=6\ell\,n|u|+k}\\\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{6}{x-1}=6\ell\,n|x-1|+k}$

$\displaystyle\mathsf{\int(5x+5)dx=\dfrac{5}{2}x^2+5x+k}$

Daí

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{5x^2+1}{x-1}dx=\dfrac{5}{2}x^2+5x+6\ell\,n|x-1|+k}$