Question

∫$\frac{e ^{x} {} }{1-2e ^{x} } dx$

Answer 1

Encontrar a integral indefinida:

$\mathsf{I=\displaystyle\int\!\frac{e^x}{1-2e^x}\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle\int\!\frac{1}{(-2)}\cdot \frac{-2e^x}{1-2e^x}\,dx}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle-\,\frac{\,1\,}{2}\int\!\frac{1}{1-2e^x}\,\cdot (-2)e^x\,dx}$


Faça a seguinte substituição:

$\mathsf{1-2e^x=u~~\Rightarrow~~-2e^x\,dx=du}$


Substituindo, a integral fica

$\mathsf{=\displaystyle-\,\frac{\,1\,}{2}\int\frac{\,1\,}{u}\,du}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle-\,\frac{\,1\,}{2}\,\ell n|u|+C}\\\\\\ \mathsf{=\displaystyle-\,\frac{\,1\,}{2}\,\ell n|1-2e^x|+C}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{l} \mathsf{\displaystyle\int\!\frac{e^x}{1-2e^x}\,dx=-\,\frac{\,1\,}{2}\,\ell n|1-2e^x|+C} \end{array}}$


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Tags: integral indefinida substituição mudança de variável exponencial logaritmo ln cálculo integral